3^8 SOI SISTEMI DI CUBICHE GOBBE 



corrispondenti a quelli in cui il piano |' seca la cubica g^. Ora in ge- 

 nerale il detto punto non cade sul piano | ', affinchè ciò avvenga è neces- 

 sario che sia (2771)' = o. Laonde, visto che (ttct)' è simmetrico rispetto 

 alle n e alle zs, si conchiude: Dato un piano ^' che incontri la cubica 

 g^ nei tre punti X, p., v e la cubica g„ nei tre punti X', jx', v', se il piano 

 pei tre punti X', p.', v' della cubica g-„ ha il suo fuoco rispetto a questa 

 su ^', ancora il piano pei Ire punti X, /j. , v della cubica g^ avrà il suo 

 fuoco rispetto a questa su ^'. La quadrica 1 è l inviluppo dei piani i' 

 ■che godono di tale proprietà. Siccome poi l'invariante i è un combinante 

 delle due forme y9\ , :p\ , cosi i piani della quadrica i conservano rispetto 

 a due cubiche qualunque del sistema la stessa proprietà che hanno 

 l'ispetto alle due cubiche date. I quattro piani tritangenti della superficie 

 V, come è facile a vedersi, appartengono alla quadrica i; altri piani di 

 questa sono gli 8 piani singolari della superficie F (§ 21). 



Per dualità, dato un punto x' per cui passino i piani X, fJL, v della 

 sviluppabile G» e i piani X', p.', v' della sviluppabile G^, se il punto d'in- 

 contro dei tre piani X', (x', v' di G» ha rispetto a questa il piano focale 

 che passa per x', viceversa il punto d'incontro dei tre piani X, p. , v di 

 G^ ha rispetto a questa il piano focale che passa per x'. Luogo dei punti 

 x' che godono di tale proprietà è la quadrica che ha per equazione 



o = /= (Pì(>f^ {j^fx;^ ...-+- [(j&y^ {Bny]x.x^-i- . . . 



I punti di questa quadrica godono della proprietà analoga rispetto a due 

 sviluppabili qualunque del sistema. 



§ 26. Il fuoco d'un piano dato ?' rispetto alla cubica g^ ha per equa- 

 zione in coordinate di piani 



o z= x; (npY -+- /, X, [{rspY-h (Tip)'] -¥- x/ (sr^y . 



L'equazione del luogo dei fuochi del piano ^ ' rispetto a tutte le cubiche 

 del sistema si ottiene eguagliando a zero il discriminante del primo membro 

 dell'equazione ora scritta di 2° grado in x, : x, , ed è 



o=i=/i{npy{r.^Y-\{pr.y-{r:^y\' 

 = 9-^4^, 

 dove si è posto 



