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ed è appunto l' iperboloide i, , 3 studiato dal Prof. D'Ovidio al § a5 della 

 sua dotta memoria. 



Quindi conchiudiamo: « I piani del f iperboloide i^.^ relativo alt invo- 

 luzione, per cui o^u-^ dà gli elementi doppi, sono tali che su di essi ca- 

 dono i fuochi dei piani ad essi congiunti nella involuzione cubica, i cui 

 elementi ti-ipli sono dati dalla stessa equazione o ^= u^' » . Siccome poi i 

 piani dell iperboloide i godono della stessa proprietà rispetto a tutte le 

 cubiche del sistema, cosi dall'essere i punti dell'iperboloide i, 3 fuochi di 

 piani ad esso tangenti ("), si deduce ohe « dei piani dell' iperboloide 

 ì, . 3 i fuochi rispetto alle cubiche del sistema hanno pei' luogo le due 

 generatrici in cui i, .3 è secato da essi piani ». 



Proponiamoci ora di trovare la superficie inviluppo delle sviluppabili 

 osculatrici a tutte le cubiche del sistema , vediamo perciò a che si riduca 

 l'invariante a; si ha 



2"K'?p)^(q/>)'(fy^)=-^("^'r-(/"^)(/^^')(A'^")(y"'"")(/''""')(y^'"'^)(^'^)(^^')('7'^'")('7''^") 



ma 



i{pv){pi>'){civ){qv')=2{puy{qv') -{vv') (qpY 

 2 ip'v"'){p'v")(q'v"'){q'v-) = 2 (p'u"')\q'n' - (u'%")^ {q'p'f 

 dunque 



-32c.= (V7f\[2{pvy{qv'f-(vv-Uqpy] 



Xl 3 {p'v")\qv-y-^ {u"u-)\q'p'}'\(pu")(p'u") 



ed osservato che {qpYp, = o , [qpfp^^o si ha 



-8^=: Kr\ (pvr[p'v"S{pv"){p'u"] . (^^ 



ovvero, chiamando X', X' i due punti doppi della involuzione, 



- 8 w = (u u'y . p-J-pv . p'rp'v ' . qv qv ■ 



Pertanto la superficie a inviluppo delle sviluppabili osculatrici a tutte le 

 cubiche del sistema , che in generale abbiam visto essere della 6* classe, 

 si scinde nei due punti (superficie di i" classe) yw/y3^„ = o, py,'pi^,= u , 

 e nell'iperboloide q.^.qy,=io contato due volte. Quest'ultimo adunque è 

 iscritto non solo nella sviluppabile della cubica data (**), ma ancora nelle 



(*) Cfr. D'Ovidio, l.c, § 25. 

 (*») Cfi. D'Ovidio, 1. e, § 18. 



