356 SUI SISTEMI DI CUlilCHE GOBBE 



in ),' e in X" le stesse tangenti e gli stessi piani osculatori, e ciò si di- 

 mostra ripetendo la stessa osservazione circa le coordinate d'una tan- 

 gente a una cubica qualujique g\ (§ xg) o circa l'equazione del piano 

 osculatore a una cubica qualunque g^ {% 1 1 ). Di qui appare come il 

 sistema di cubiche in questione non sia altro che un caso particolare del 

 fascio di Chasles , quando in questo si supponga che dei quattro punti, 

 per cui passano tutte le cubiche, due sieno venuti a coincidere in X', e 

 due in X". 



§ 30. Il sistema invariativo di due cubiche binarie ci è stato di grande 

 utilità nelle ricerche che abbiam fatto sui sistemi di cubiche gobbe , chiu- 

 deremo questo scritto facendone alcune applicazioni al caso di una cu- 

 bica sola. 



Date due forme cubiche P-^ , 11^^ di cui gli Hessiani denoteremo rispett. 

 con Q^ , Q^, la loro risultante ha per espressione 



4(Pn)'+27(Qn;(^pr(Pn) ; 



e l'invariante (Qn)*(QP)'(Pn) col suo annullarsi esprime che coincidono 

 due radici del Jacobiano 



senza che perciò le due forme P-^ , ^\ abbiano una radice comune. — 

 Pertanto se P^z=o, 11^^ = danno le due terne di piani X che partono 

 dai punti x, oc' , l'equazione 



significa che i due punti x, x' sono su di uno stesso piano osculatore, 

 e quindi, fìsso x , rappresenta la terna di piani osculatori che passano 

 per x'. 



Siccome poi E->!'^o dà i parametri delle quattro rette X che secano 

 la xx ('■*), così l'equazione 



(*) Quest'equazione è d'accordo col fallo, che i tre piani osculatori uscenti da un punto x' sono 

 i tre piani stazionarli del cono, che proietta da x' la cubica, e che le tre generatrici stazionarie sono 

 nel piano 0=(Pn)' focale di x'. 

 {**) Cfr. D'Ovidio, 1. e, § 31. 



