m A. GENOCCHI. 3 



la somma Zj" di tutte le radici y o di alcune di esse elevate allespu- 

 ncnlc intero e positivo r , potremo formare un' equazione difrerenziale 

 d'ordine v-\-\, che determini «, nel modo indicato al n" 3 della citala 

 mia Memoria; avvertendo poi, che P è una funzione razionale con parte 

 intera costante se h non è nullo, e applicando le conchiiisioni ivi espresse 

 al nuni. ■^ , troveremo che se h è diverso da zero, nessun valore razionale 

 di II avrà parte intera non costante, e il denominatore di un \alore ra- 

 zionale frazionario di a non avrà fattori lineari diversi «la .r. e avrà per 



ci^ — 1(1.. 



fattore x solo quando il coeflicientc si riduca alla forma 6(5-»- i) 



con 5 commensurabile e positivo, e però quando a sia un numero com- 

 mensurabile maggiore di 2 ovvero negativo. Se quest ultima condizione 

 non è adempita , u non potrà essere una funzione razionale , e j non 

 •potrà essere una funzione algebrica di x . 



3. Ogni volta che sia riconosciuto non esser razionale alcun valore 

 della funzione a corrispondente all'equazione (2) , si l'aj-^e/*"*^, il che 

 somministra 



«) ^-^^' = ^' 



e si cerca se'questa equazione abbia integrali razionali . se non ne ha, si 

 conchiude che lequazione (2) non ammette alcun integrale espresso in ter- 

 mini finiti. Per applicare una tal conclusione all'equazione (3) supponiamo 



P = A-\ 1- — ; 



col metodo esposto nella ricordata INIemoria, num. 9, si troverà che se 

 un integrale della (4) è razionale , tlovrà avere la forma 



X \x — a, X — «j x — a„J 



con // nullo, ovvero =1 , e /i(A— i) = C Si può anche fare 

 II i X' 



X — a, X — a^ X — a„ ,\ 



ponendo X=:{x — a,){x — a^) . . .{x—a„,) . e X'=-r—: e ne risulterà 



J- 



:'X' 



