DI A. CEMOCCHI. O 



ovvero 



±21 hin-hi]b=iab—2g , 



e dai'à per j, ovvero per (>■ — %■■, uno dei valori «jh-i c —ni: laonde j-, 



ovvero «— r dovrà esser un numero intero positivo, negativo o nullo. 



Senza di ciò non potrà y e quindi neppure j essere espresso in lerniini 



finiti. 



r/"r 

 4. Diflcrenziando n volte l'equazione (3) e dicendo -r-^ = z , si ottiene 



e/* z dz 



dx' ^ 'dx ^'^ ' ' 



equazione che ha la stessa forma della (3) , e a cui quindi si possono 

 applicare le conchiusioni precedenti. Si può anche ottenere la (3) difle- 

 renziando n volte l'equazione 



d'z dz 



x-r-^ -{-(a — n-hbx)^ -^(iT — nb) z^o , 

 dx^ ^ ' dx ^'^ ' 



e facendo - — -^=y : nel primo caso, dato :;, si troverà j- con n integra- 

 zioni successive, nel secondo con n difFcrenziazioni, e in ambedue non 

 sarà ^ esprimibile sotto forma finita se non .sia tale z. La seconda equa- 

 zione diirercnziale tra j^ e z si può comprender nella prima, ammettendo 

 valori negativi per la ii ; e trattando z nella prima come y nella (3) , 

 vedremo che la funzione u corrispondente non avrà alcun valore razio- 

 nale se la quantità a-^n non sia commensurabile e maggiore di 3 ovvero 

 negativa. Ora si può sempre scegliere il numero intero positivo o nega- 

 tivo n, in modo che a-\-n sia >o e <2: allora dunque u non potrà 

 esser razionale , e affinchè z sia esprimibile in termini finiti , supjiosto b 

 diverso da zero, dovrà ridursi ad un nimiero intero positivo, negativo 

 o nullo una delle quantità 



sr-^nb e-^nb 

 - — ; 1 a-^n — - — = , 



ossia 



f-""' "-f 



