8 STUDI INTORNO AI CASI D INTEGRAZIONE ECC. 



per a = l e per a = l, si astra JB = o , e l'equazione (2) sarà integrabile 

 in termini finiti, essendo P costante; se abbiasi all'incontro 



I I 



tì = I H — , ovvero « = i 



P P 



con p maggiore di 2 , ambedue le quantità 



2(a — i) — I , 2(1 — a) — I 



saranno negative, e perciò u non potrà esser razionale né j' esser fun- 

 zione algebrica di x. Lo stesso accadrà per a =: i , essendo allora B^: — ^ 

 negativo. 



In questi casi in cui u non è razionale, la variabile^ dell'equazione (G) 

 non sarà esprimibile in termini finiti, non essendo tale la variabile y' , 

 poiché l'equazione (4) non avrà integrali razionali. In fatto l'equazione (4) 

 non può averne se non è B^m(pi-^ì) , chiamato m un numero intero 

 e positivo (citata Memoria num. 9): così dovrebbe essere 



(rt — I ) — ^ =3 m (/« -f- I ) , 

 ossia 



a-i- ±(m-+-0 , 



il che non avviene per a incommensurabile, ne per a = i , ne per 



a^rii:— se p > 2 . 

 P 

 G. Se a sia commensurabile ma non compreso tra i e 1-1-5, si potrà, 



come dianzi al num. 4? trasformar l'equazione (6) in un'altra simile, nella 



quale si trovi a-hn in luogo di a, essendo n un numero intero positivo 



o negativo. Se a è un numero intero positivo o negativo si potrà render 



« -H n =: I ; se a è una frazione , si potrà render rt-+-n^i± — , yo^a, 



scegliendo ìi in modo conveniente. Si concluderà che l'equazione (6) sai'a 

 integrabile in termini finiti solamente quando il coefficiente a sia im nu- 

 mero della forma jim, essendo m un numero intero positivo o zero, 

 o con altre parole, quando « — ì eguagli un numero intero positivo, ne- 

 gativo o nullo. 



Posto fl = o , si ha il caso particolare 



X" 



dx"^ -"-^ 



