IO STUDI INTORNO AI CASI D INTEGRAZIONE ECC. 



condizione d' integrabilità peLx-aso di b diverso da zero. Se b =o , s,i porrà 



, m a — I j 



a'—\ = m e si avrà o = \ , onde 



C9) ('»-o-^ — i:^^^"" ' 



condizióne d'integrabilità per b=o. 



Si deve aggiungere il caso di g- = o quando é = o. Il caso di g' eguale 

 al prodotto di b' per un numero intero è già compreso nella (8), quando b 

 non è nullo. 



8. Posto a=zo , b—o, [J.=2, l'equazione (7) diviene 



e la condizione (9) si riduce a 



e = — TO (/« — I ) : 



si ha così dimostrato in modo semplice un teorema del sig. Liouville. 

 Posto a=:o. b = o, c = o, l'equazione (7) diviene 



dW 



e corrisponde all'equazione del Riccati ; dalla (9) si trae /-<■' = 7 Z~y 



donde 



Am 



a — 2 — , 



' im — I 



oppure 



4(7» -0 



' 2 (/?! — I ) -+- I 



e si trovano cosi gli esponenti, per cui l'equazione del Riccati è integra- 

 bile in termini finiti. 



Se pongasi soltanto è = o, la (7) potrà rappreseytare l'equazione che 

 fu considerata dal sig. Malmstèn come più generale di quella del Riccati , 

 e la (g) darà i casi in cui essa ammette un integrale in termini finiti. 



L'equazione del Riccati e quella del Malmstèn si riducono alla 



