DI A. GENOtCHI. I I 



e a vicenda quest'ultima si riduce all'equazione del IIiccati per mezzo 

 delle relazioni 



(detta Memoria, num. io). Solamente, per ottenere B=: — J, t:onverrehbe sup- 

 porre /li=oo; onde il caso di /?= — ^ non si può comprendere nell'equa- 

 zione del RiccATi se non l'isguardandolo come un limite per valori indefi- 

 nitamente crescenti dell'esponente p.. All'incontro l'equazione del Mai.msthn 



per la (piale è 



dy , e h 



-r- -+■ ky^-^ r z= ux''-^ j 



dx ' x~^ X 



4M+(i-6-)' . 



(ivi, num. ;>.). può somministrare .^r= — | , l)astando che sia /\bk — —(i —e) . 

 Prendendo 



l) :=0 , (.•=:: 1 , uk =■— l , (J.^ O 



si ottiene la corrispondente equazione lineare di secondo ordine 



d' r \ d y 

 dx"- X dx ■^ 



che è compresa in quella degl integrali Besseliani (ivi, num. i6), e anche 

 questa fu trattata dal sig. Liouville , a cui si deve il teorema , non esser 

 essa integrabile in termini finiti. 



Del resto, nel caso di B^—'j, si deduce dalle proposizioni dei 

 numeri 7 e 9 della citata Memoria, che nessun integrale può esprimersi 

 sotto forma finita, poiché — ^ non è della forma j^(|3-+-f) con j'3 positivo. 

 Si avrebbe, nelle quantità considerate al num. 7, |3=y= — ^j per ciò 

 l'equazione, che determina l'esponente y. , avrebbe /'n-i radici tutte 

 eguali a (3 /•= — !/• e quindi negative, onde non avendo a. alcun valore 

 positivo , la funzione u non potrebbe esser razionale. 



L'equazione per gV inlegrali Besseliani d ogni 01 dine si trova facendo 

 nella (■y) 



a=\ , b — o, g— I , f^=2: 



e allora la (9) somministra c=^ — {m — iy. Dovendosi per gl'integrali 

 Besseliani il coefficiente e ridurre al quadrato preso negativamente d'un 

 numero intero , sarà provato che tali integrali non si possono esprimere 

 sotto forma finita. 



