DI A. GENOCCHI. l3 



K f'aoerulo « = , avremo 



f;.-4-i 



I 1 ( 



e (jiiindi 



J\x) = (/.'{ajc'-i-ùx-i-c)-^(ì{^j-hi) , 



avremo anche 



r t /' 



P(r.^, )= "•'■ 7'-' 



l'equazione [)roposla sarà dunque integral)ilc sotto forma finita : i° quando 

 a e h siano nulli ; 2° quando sia nullo a e si abbia 



k'c h ^^ r-^ = I I — 1 



(am-i-i \' 



4 



ossia i6a'c-i- 4 «'(i — §•) -f- 12 = (2/» -t- t) 



3" quando a sia diverso da zero e si abbia 



(jHi—fr) — I 

 a^c-^-^ P- 



("^-Ip)("'-Tp-') ' 



essendo to, come dianzi, un numero intero positivo, negativo o nullo. 

 Facendo j- = e^'"'', l'equazione ora indicata si riduce ali altra di 



primo ordine 



dp s , e 



-T- -^ p^ -^ - P ^ a x^'^ -¥■ X* 'h , 



dx x' X 



e saranno perciò determinati smchc per questa i casi d' integrabilità. In 

 essa è compresa un equazione di cui si occupò Legendre alla fine del 

 suo trattato degl Integrali Euleriani (*). 



Lequazione (2) non sarà integrabile in termini finiti . se sia 



" X -x" x' 



per ?i > 2 impari e A„ diverso da zero : perchè la funzione u coiiispoii- 

 dente non sarà razionale, non potendo avere né parte intera variabile né 



{') Traile des Fomtions ellijitijues et des Jiitt'grales Eulirieunes , par .\. M. I.EGEHDRE, toni. II, 

 pag. 530 (Tarigl, 1826). 



