l4 STUDI INTOKNO AI CASI d' INTEGRAZIONE ECC. 



parte frazionaria ; e Io stesso sarà della flinzione v determinata dall'equa- 

 zione (4) , come risulta dalla Memoria del 1 864 , num. 9. 



Si ridurrà a questo caso , e perciò non sarà integrabile in termini 

 finiti 1 equazione 



dx^ X dx x^ -^ ' 



se F(x) indichi una funzione della forma 



A x^-^ A.x-^ J^-\ 1 --+-... H , 



e sia // un numero maggiore di 2 e impari, e A^ ""^ costante diversa 

 da zero. 



10. Tratteremo infine come applicazione della (7) un altro caso par- 

 ticolare della (i), che si presenta quando rt=o. In questa supposizione, 

 riducendo Z» ad i , si ottiene 



(«o) x^^' + x(iV.'x-)g + ^"j = o, 



che si trae dalla (7), ponendo /j. = — i , a^b' , b = a, g = o, c = b''. 

 Adunque dedurremo dalla forinola (8) che l'equazione (i), nel caso di 

 <i=:o e posto ^ = I , sarà integrabile in termini finiti se a' sia nullo , e 

 anche se , essendo a' diverso da zero , si abbia nel medesimo tempo 



(2,«_HÌ'-3)^-(i'-i)^-+-4//' = n , 



ovvero 



b'' = — (m — i) (m -i- b' — 2) , 



chiamato m un numero intero positivo, negativo o nullo. 

 Si riduce alla precedente anche l'equazione più generale 



d^Y dy 



(il) x'^'*'^-r^-^x(a-hbx'^) -r- -^(c-+-srx'")r=o ; 



^ ' dx'' dx ^ 



ma più facilmente si dedurrà dalla (7) dividendo tutto per x^, e allora 

 scambiando nelle (8) e (9) a con b , e con g , p. con — [j., si conchiu- 

 derà che lequazione è integrabile : i" se a è diverso da zero e insieme 



e b-_i_Y ( Z>-i)--4g _ 

 2" se rt — o e msieme c=zo, oppure 



m— I 1 I — ^ j^ ^ =0 



a^j. 11). J 4fj.' 



