DI A. GE.NO«:CHI. l'j 



e ne risulterà per u il valor razionale 



A 



Supposto semplicemente P=: — , la dimostrazione dell'impossibilità 



d' integrare la (2) sotto forma finita si riduce alle cose seguenti. 

 DilFerenziando l'equazione 



""li^-^y ^ 



ponendt) -j- = z , si ottiene 



d^z ilz _ 



OC -^ -f- _ — JT. Z — O 1 



dx^ ajc 



I 



facendo poi a:^=x'^ , z=ix' ^y e prendendo x' per variabile indipen- 

 dente, si avrà 



Da questa è facile dedurre, che j-' non sarà funzione algebrica di x\ 

 e quindi che 2 non sarà funzione algebrica di x ; onde segue, che neppure j' 



sarà fimzione algebrica di x. Di più l'equazione (4), posto P=.!\ A— - — j , 



non ha integrali razionali : dunque j' non si esprimerà per mezzo di x' 



sotto forma finita , né s per mezzo di x , e lo stesso sarà di y. Possiamo 



in tal modo supplire alla dimostrazione esposta nei citati numeri ice i3. 



Un metodo somigliimte si potrà usare anche in altri casi , in cui si 



abbia P frazione razionale di grado — i. Posto P= i-Q, si potrà fare 



jr = ar'" , y=zx'^y' , 



e si avrà 



a-i-2|3=o , -Pa'x^ = ^{P-^i) -J\x'i) , 



onde 



■ rj^ — j 



f(x'') = — ^ i-Aa.'x-+-Qex.^x* . 



Preso « =; 2 risulterà 



Serie H. Tom. XXVIII. e 



