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.-P 



essendo a? = -; f'{x) sarà quantità finita, mentre f{x — e) 



e f[x-h£], comunque f sia piccolo, eccederanno ogni 



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 quantità finita, per essere infinita la somma !-»---+• --+- . . . 

 - o o 



Si ha pertanto, come affermò Riemann, una serie trigo- 

 nometrica che per ogni valor razionale di x a numera- 

 tore impari e denominatore pari rappresenta una quantità 

 finita, ma non può restar compresa tra limiti finiti in 

 alcun intervallo piccolo quanto si voglia, e per conse- 

 guenza non è capace d'integrazione. 



\r^ fw x\ 

 Se con f{x) si rappresenta la somma della serie > ■^— » . 



8i troverà nello stesso modo ' "'' ^"' 



2/11 \ 



''/Il \ 



f{x—£]=f{x) -+- 3 n-^ n.t ^ :*:: ni ' 

 g \ : : VP. >.i\ IfM Oi I/j q / . 



conforme alle asserzioni di Riemann ;\ ma in questo caso 

 f{x) è sempre una quantità finita, che solo divien discon- 



tinua per valori di x della forma qui supposta - , con 



■p e q numeri interi primi tra so, e q pari. La funzione f{x) 



passa dal valore /^(^|j-t-^, al valore f(^\_JL, 



P P 



mentre x passa da £ a --i-£ , onde la variazione to- 



q ^ q 



tale della funzione è ^^ , e perchè questa superi una 

 quantità data e , bisogna che sia q<,-^j==., il che darà 

 un numero finito di valori interi e pari di q\ inoltre, 



