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 sarà una funzione continua di x, poiché l'integrale è il 

 limite d'una somma d'elementi , che si accresce o scema 

 d'una quantità infinitesima , quando i limiti variano di 

 quantità infinitesime ; e questa funzione continua di x 

 non avrà derivata ogniqualvolta x prenda un valor ra- 



zionale - a numeratore impari e denominatore pari : 



perocché f ( - ± f ) non tende ad un valore unico quando e 



tende a zero. Cosi devesi a Riemann d'avere pel primo 

 indicate funzioni continue, che mancano di derivata per 

 un' infinità di valori della variabile prossimi a qualsiasi 

 valor dato della medesima. 



L'indicazione del Riemann suggerì al valente suo disce- 

 polo Dottor Ermanno Hankel , rapito alla scienza in età 

 molto immatura, un principio ch'egli chiamò condensa- 

 zione delle singolarità, e col quale potè formare altre fun- 

 zioni continue mancanti di derivata in punti del loro corso 

 tanto vicini quanto si voglia a dati punti qualsiansi. 



Altri esempi furono proposti nelle scuole tedesche, in 

 guisa che da oltre dieci anni vi é cessata ogni discus- 

 sione intorno alla necessaria esistenza delle derivate per 

 tutte le funzioni continue. Anzi il signor Weierstrass 

 provò che vi sono funzioni le quali restano continue per 

 tutti i valori reali della variabile e non hanno derivata 

 determinata e finita per alcuno di essi. 



Una dimostrazione dell'esistenza della derivata era stata 

 tentata dall'AMPÈRE (1), e il suo ragionamento che Lacroix 

 riprodusse attribuendolo a Binet ainé (2) fu tenuto per 



(1) Journal de VÉcole Polylechnique , 13*^ Cahier, pag. 148. 



(2) Lacroix , Troité du calcul différentiel et du calcid integrai, tom. 1, 

 pag. 241-242 in nota (2* ediz. Parigi, 1810). 



