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 Io mi ristringerò qui a trattare gli esempi che Hankel 

 propose di funzioni continue non aventi derivata pei valori 

 razionali della variabile, e cercherò di supplire con dimo- 

 strazioni più rigorose a quelle poco invero esatte ch'egli 

 diede , e mettere cosi fuor di controversia il principio 

 ingiustamente deriso della condensazione delle singolarità. 



VI. 



Gli esempi di Hankel sono ottenuti assegnando forme 

 particolari alla funzione <p(y) in una serie rappresentata 

 generalmente con 





ove s denota un esponente positivo maggiore di 3 e pel 



n 



valore di x si prende un numero razionale irreduttibile -. 



q 



Il più semplice si ha da (p[y)^y^, e lo considero pel 

 primo. 



I valori di n saranno multipli o no del denominatore q. 

 Per n multiplo di q, porremo n = kq, e sarà sennarTrsO, 

 sen n[x -i- £)7xz=± seri kg e 77 , onde nella espreS'sione di 

 [{x-^-a) — fix) sì avrà una parte 



V^ <p ( ± sen kqsTt) 1 >^ i^seu kqen)^ 



Zj ikqY —g^Zi ¥ ' 



k=, ^ ^' ^ k=i 



e questa parte, a causa dell'esponente * , sarà composta di 

 termini tutti positivi. Dividendo per f si avrà nella espres- 



sione del rapporto — ' — -—■ una parte composta di 



