68 GUSTAVO SANNIA 



Naturalmente, affinchè (1) sia sommabile occorre: nel primo 

 caso che s{x) sia una trascendente intera e che il limite (2) 

 esista e sia finito ; nel secondo caso che u{x) sia una trascen- 

 dente intera e che l'integrale improprio (4) sia convergente (cioè 

 esista e sia finito). 



11 BoREL ritenne del tutto equivalenti le due definizioni di 

 somma e, abbandonando la prima, si attenne definitivamente 

 alla seconda, che è senza dubbio più maneggevole in pratica. 

 Però C. H. Hardy (*) ha fatto osservare che esse non sono 

 del tutto equivalenti e danno origine perciò a due metodi di 

 sommazione leggermente distinti: le serie sommahili col primo 

 metodo sono sommabili anche col secondo (non viceversa) e sono 

 caratterizzate dalla convergenza dell'integrale improprio 



(6) r e-^ii' {x)dx. 



.'0 



ove u'(x) è la derivata prima di u(x) (n* 7). 



Per evitare confusioni, diremo che (1) è sommabile col me- 

 todo di Borei (senz'altro), e scriveremo è sommabile B, quando (4) 

 converge; diremo che (1) è sommabile col primo metodo di Borei , 

 e scriveremo è sommabile B', quando (2) esiste ed è finito. 



2. — Posta la definizione (4), il Borel osservò (**) che " lo 

 studio delle serie sommabili B presenta lo stesso inconveniente 

 dello studio delle serie che sono convergenti senza esserlo as- 

 solutamente „. Egli intendeva alludere a ciò: che, come perle 

 serie semplicemente convergenti, così anche per le serie som- 

 mabili B, non vale la regola di Caucliy per la formazione di una 

 serie che abbia per somma il prodotto delle somme di due 

 serie date. 



Per ovviare a ciò, egli abbandono lo studio delle serie som- 

 mabili B in generale e si limitò a considerare solo quelle che 

 chiamò assolutamente sommabili e per le quali dimostrò esser 

 valida la regola di Cauchy. 



(*) Hardy, " Quarteiiy Journal of Mathematics ,, voi. 35, 1903, p. 2-5. 

 (**) Loc. cit., p. 99. 



