NUOVA TRATTAZIONE DEL METODO DI BOKEL, ECC. 69 



Con l'acquisto della validità di questa regola, il metodo di 

 sommazioue B diventò adatto ad estese applicazioni; però non 

 si può disconoscere che fu un acquisto pagato a caro prezzo. 

 Infatti una serie (1) è assolutamente sommabile quando l'inte- 

 grale (4), non solo converge, ma converge assolutamente insieme 

 con gli infiniti altri integrali improprii 



(7) [*g-^'w"» (x) dx (r =1,2, 3, ...), 



ove «'''(a;) è la derivata r-esima della serie u{x). 



Come si vede, le serie assolutamente sommabili formano 

 una classe estremamente particolare fra le serie sommabili B, 

 tanto che, come ha osservato Hardy (*), non comprende neppnre 

 tutte le serie convergenti (**), pur comprendendo tutte le assolu- 

 tamente convergenti e molte serie indeterminate. 



3. — Orbene noi dimostreremo che per conseguire la vali- 

 dità della regola di Cauchy è inutile imporre alle serie somma- 

 bili B tutte le infinite condizioni imposte dal Borel, e che invece 

 basta porre V unica condizione che l'integrale (6) sia convergente 

 semplicemente. 



Ricordando il teorema di Hardy (n'' 1), possiamo anche dire 

 che: la regola di Cauchy sussiste per le serie sommabili B'. 



E questo il risultato più importante della presente Nota 

 (n° 11). 



Esso rimette in onore il metodo B', ed estende la pro- 

 prietà pili cospicua delle serie assolutamente sommabili ad una 

 classe di serie, tanto più ampia, che è appena leggermente più 

 ristretta di quella costituita da tutte le serie sommabili B. 



Dimostreremo pure che la regola di Cauchy vale più ge- 

 neralmente per una serie sommabile B ed una serie somma- 

 bile B' (n« 10, lemma H). 



Anche per eseguire il prodotto di due serie sommabili B 

 daremo una regola (n° 10, lemma I) che, se non è proprio quella 

 di Cauchy, ne differisce di pochissimo e, in un certo senso, offre 

 gli stessi vantaggi (n° 13). 



n Loc. cit., p. 22. 

 (**) Loc. cit., p. 25. 



