70 GUSTAVO SANNIA 



4. — Questi risultati fanno sorgere due quistioni intima- 

 mente collegate: Perchè il Borei impose condizioni così sovrab- 

 bondanti per conseguire la validità della regola di Cauchy ? I 

 nostri risultati rendono forse inutile la considerazione delle serie 

 assolutamente sommabili ? 



Per rispondere a queste domande è necessario fare una 

 digressione sulle condizioni che conviene imporre ad ogni me- 

 todo di sommazione. 



Anzitutto si vuole che ogni metodo X di sommazione non 

 muti il significato dell'ente serie quando esso ne ha già uno 

 col metodo classico o ordinario (è convergente), così che non 

 distrugga i risultati già acquisiti in Analisi con questo metodo. 

 Deve dunque essere soddisfatta la seguente 



Condizione di coerenza (*) : Ogni serie convergente con 

 somma s dev'essere sommabile X con ugual somma. 



Inoltre affinchè un metodo X sia suscettibile di applicazioni 

 bisogna che, come accade nel metodo ordinario, le principali 

 operazioni che si vogliono eseguire sulle somme delle serie si 

 riflettano in altrettanti operazioni da eseguirsi sulle serie me- 

 desime. 



Convenendo di rappresentare il numero somma di una serie 

 mediante la serie stessa, si possono compendiare nelle cinque 

 formolo seguenti le operazioni elementari valide nel metodo or- 

 dinario (la (V) sotto condizioni restrittive): 



(I) (Mo+Wi-|-W2+--.) + ^ = Wo4-^«l+---+^«H-l + (WH+^)+W„+r+-..., 



(II) (?<o + «1 + ^2 + •••) ^' = ^'<0 + ^'Wl + ^«2 + ••• • 



(TU) (?/o 4- wi + •••) + ('^'o + i"i 4- •••) = K + yo) + (wi + M+.-, 



(IV) n^y + Wi -f- «2 + ••• = "o + (wi -f ih + •••) , 



(V) (% + Wi + ...) (ro + i-\ + •••) = '<"o + «^'i + W'2 4- •••, 

 ove 



Wn = Uq l'n + fll Vn-l + ••• + t^n Vq > 



Ora: quali di queste proprietà algoritmiche conviene esigere 

 da ogni altro metodo X? 



(*) Condition of consistency di Hardy. 



