NUOVA TRATTAZIONE DEL METODO DI BOKEL, ECC. 71 



Le sole proprietà (I), (II), (IH) e (V), perchè esse danno un 

 algoritmo sufficiente per poter adoperare nei calcoli le serie 

 sommabili X Infatti, in virtù di esse, noi possiamo sottoporle 

 a qualsiasi operazione algebrica intera, lineare o non, e ciò basta 

 per le applicazioni. 



E queste operazioni noi possiamo bene eseguirle senza 

 l'aiuto della proprietà (IV), e quindi anche senza che ci sia 

 permesso di permutare o associare neppure due soli termini di 

 una serie (*). 



Dunque non è necessario esigere anche la jìroprietà (IV). 



E poiché non è necessario, il farlo è inopportuno. È evi- 

 dente infatti che l'imporre condizioni non indispensabili non 

 può che limitare la generalità e la potenzialità dei metodi di 

 sommazione, il che è contrario allo scopo precipuo che ci pro- 

 poniamo ricercando i metodi stessi, che è quello di estendere 

 per quanto è possibile il significato ordinario delle serie, pur 

 senza distruggerne i caratteri essenziali. 



E che le limitazioni che può subire un metodo X per la 

 imposizione della (IV) debbano esser gravi si capisce da ciò : 

 che, in sostanza, la (IV) esige che in una serie si debba 

 poter applicare la proprietà associativa ad infiniti termini con- 

 secutivi. 



Oltre a ciò, l'esigere la proprietà (IV) è in contraddizione 

 col concetto che noi dobbiamo avere di una serie, e che è così 

 espresso dal Borel (**) : " On doit considérer dans une sèrie le 

 rang de chaque terme cotnme faisant partie intégrante de ce terme; 

 une serie n'est pas seulement une collection dénombrable de 

 nombres; c'est une teile collection, dont les éléments sont 

 rangés dans un ordre determinò, et cet ordre importe autant 

 que la valeur des éléments. Cotte manière de considérer les 

 séries: une collection de nombres dofit chaciin a un rang déter- 

 niiné est, à mon avis, tout à fait essentielle en Analyse „. 



Orbene passando dal primo membro della uguaglianza (IV) 

 al secondo, o viceversa, tutti i termini cambiano di rango a par- 

 tire dal secondo. 



(*) Infatti dalla proprietà (IV) seguirebbe che è lecito permutare o as- 

 sociare un numero finito di termini di una serie. 

 (**) Loc cit., pp. 17-18. 



