72 GUSTAVO SANNIA 



Concludendo: noi riteniamo che non convenga imporre a 

 priori la proprietà (IV) a nessun metodo di sommazione, e che 

 un metodo nel quale essa non sussista (purché sussistano le 

 altre) sia ciò malgrado un metodo completo, cioè un metodo al 

 quale nulla manchi per essere introdotto utilmente in analisi. 



Tale è il metodo B' . 



Che se poi per un dato metodo la proprietà (IV) si pre- 

 senterà spontaneamente valida (anche solo in parte, come accade 

 nei metodi B e B'), essa sarà certamente la benvenuta ; ma do- 

 vremo considerarla come proprietà secondaria e particolare del 

 metodo considerato. 



5. — Contrariamente a ciò, il Borel ritenne (*) che la pro- 

 prietà (IV) dovesse imporsi ad ogni metodo, e perciò l'impose 

 al suo che non la consentiva. 



E fu per ottenere la oalidità della proprietà (IV). e non della 

 reyola (5) di Cauchy, che il Borei fu costretto a porre le condi- 

 zioni così restrittive che reggono la sommabilità assoluta. 



Con ciò abbiamo risposto alla prima domanda postaci in 

 principio del n** 4. 



In quanto alla seconda, possiamo dire, dopo quanto pre- 

 cede, che : 



Per la teoria aritmetica (**) delle serie sommabili B la con- 

 siderazione delle serie assolutamente sommabili è inutile, e il loro 

 posto può essere degnamente occupato dalle serie sommabili B' (***). 



(*) Loc. cit., p. 15. 



(**) Per uno sviluppo della teoria dei metodi B e B', dal punto di 

 vista aritmetico, piìi completo di quello fattone dal Bokel, cfr. l'eccellente 

 trattato del Bromwich, An introdiiction to the theory of infinite series, art. 99 

 e fiegg- London, 1908. 



(***) Resterà poi a decidere se le serie sommabili B' possano anche 

 sostituire le assolutamente sommabili nello studio delle serie di funzioni 

 e, in particolare, delle serie di potenze. 



