NUOVA TRAI ['AZIONE DEL METODO DI BOREL, ECC. 



§ 2. — Lemmi. 



6. Lemma I, — Se f(x) è una funzione continua insieme 

 con la sua derivata prima f'{x) per x > 0, e se l'integrale im- 

 proprio 



(8) re-'=f'ix)dx 



è convergente, è pure convergente l'integrale 



(9) e-'=f[x)dx; 

 si ha inoltre 



(10) \\me-'^f{x) = 0. 



Per la dimostrazione, cfr, Hardy (loc. cit.j, oppure Bromwich 

 (loc. cit., art. 101) nell'ipotesi che f{x) sia una trascendente 

 intera; ma questa ipotesi non interviene nella dimostrazione. 



Osservazione. Non si può, viceversa, dedurre la conver- 

 genza dell'integrale (8) da quella dell'integrale (9), cioè: può 

 accadere che l'integrale (9) converga, anche se non converge l'in- 

 tegrale (8). 



Hardy ha dato un esempio di ciò in loc. cit., p. 30. Tro- 

 vasi anche in Bromwich, loc. cit., art. 101. 



Lemma IT. Le due serie 



(11) s{x) = ^Sn''^ e u {x) = ^ lln+i -^ , 



}i—0 ' «=0 



ove 



(12) S.„ = Uq + u^ + ... + Un, 



hanno il medesimo intervallo di convergenza uniforme; e per ogni 

 punto X di esso si ha 



(13) j^\e-s{x)] = e-u'{x). 



