74 GUSTAVO SANNIA 



Detta s' {x) la serie ottenuta derivando s (x) termine a 

 termine 



<( (x) = 2j ^n + 1 -^ , 



n—0 



si ha 



^^^^ ^ t^""" ^ ^"^^^ ^ ^""^ L^' («) — s (x)] = 



oc 



= g-^ 2] («"+1 — ^") -fy = ^~'' ^(' (^) 5 



sicché formalmente sussiste la (13) (*). 



Ricordiamo che l'intervallo di convergenza uniforme di una 

 serie di potenze è anche quello della sua derivata e che in esso 

 convergono entrambe assolutamente. 



Se dunque x appartiene all'intervallo di convergenza uni- 

 forme di s{x}, e quindi di s' (x), x apparterrà pure all'analogo 

 intervallo di s' {x) — s{x) = u' (x). In seguito a ciò tutte le ope- 

 razioni successivamente eseguite nella (14) sono lecite, e la (13) 

 sussiste. 



Viceversa: supponiamo che x appartenga all'intervallo di 

 convergenza uniforme [a, b) di ii' {x). 



In tal caso non possiamo invertire tutti i passaggi ese- 

 guiti nella (14). Precisamente: possiamo ben passare dall'ultimo 

 membro al penultimo, poiché «„+i :=:^ Sn^-i — ««, ma non possiamo 

 passare da questo all' antipenultimo, perchè nulla sappiamo delle 

 due serie s{x) e s' {x). Perciò procederemo diversamente. 



Moltiplichiamo le due serie uniformemente e assolutamente 

 convergenti in («, b): 



ce 

 (1 5) II' [X] = 2] {Sn+1 — Sn) ^T ' 



(16) ^-^ = Ìi(-i)"fr- 



n=0 



(*) La formula (13) è servita ad Hardy (loc. cit., p. 25) per confrontare 

 i metodi B e B' (cfr. n. 7). Però, tanto I'Hardy, quanto il Bromwich (loc. 

 cit., art. 114) si limitano a dimostrarla formalmente. Che la dimostrazione 

 formale non basti, è evidente; ma ciò risulterà meglio dalla nostra dimo- 

 strazione. 



