NUOVA TRATTAZIONE DEL METODO DI BOREL, ECC. 75 



Otteniamo la serie uniformemente convergente in {a, h) : 



00 OD 



(17) e-^ u' {x) =Xvn-^ = £ L -h 2 ^--1 ^ 



w=0 



w=l 



ove 



s,.+i_, + (- !)■■+' So 



?-=o 



7-=l 



;:+Ui 



e infine 



(18) ^n = ^{- 1)'("|^) s>m-o (^^ = 0, 1, 2, ...). 



=?i+l 



r=0 



Dalla (17) risulta che, per dimostrare la (13), basta veri- 

 ficare che, moltiplicando la serie 



(19) 



So 





«=1 



per la serie esponenziale e', entrambe uniformemente conver- 

 genti in {a, è), si ottiene la serie s{x) (11). 



E pili facile però verificare che moltiplicando s{x) per la (16) 

 si ha la (19). Ed infatti nasce la serie 



oc »*=« OD »■=" 



n=0 r—0 lì—l r=0 



che, per la (18), si riduce appunto ad s{x) (11). 



