NUOVA TRATTAZIONE DEL METODO DI BORKL, ECC. 77 



Inoltre, integrando per parti, si ha 



(27) e~^ u (a;) dx = e~^ it {x) — Uq -\- ^~* u (a?) dx 



Jo .'o 



ed, al limite per a* = oo, si ha, per le (24) e (26). 



(28) s = «""* « {x) dx . 



Da tutto ciò raccogliamo che, se una serie è sommabile B' 

 con somma s, è anche sommabile B (n^ 1) con ugual somma, ed 

 inoltre converge l'integrale (23). 



Viceversa, se converge (23), onde u [x) è una trascendente 

 intera, sussiste la (13) del lemma II, da cui si deduce la (13'). 

 Poiché esiste ed è finito il limite (23) del secondo membro, esiste 

 ed è finito anche il limite del primo, cioè esiste il limite (22), 

 onde la serie (20) è sommabile B' . 



Da tutto ciò raccogliamo : Le serie sommabili B' sono anche 

 sommabili B con ugual somma {ma non viceversa) (*); e fra le 

 serie sommabili B sono caratterizzate dalla convergenza dell'inte- 

 grale (23). 



Ne segue che : il metodo di sommazione B' è leggermente 

 meno potente del metodo B (**). 



8. — La condizione di coerenza (n° 4) è soddisfatta tanto 

 dal metodo B che dal metodo B\ cioè: 



Ogni serie convergente con somma s è sommabile B' {e quindi 

 anche B) con ugual somm,a. 



Si ha di più: le serie divergenti [non indeterminate) non sono 

 sommabili B e quindi neppure sommabili B'. 



Tutto ciò è noto (***). 



(*) Perchè dalla convergenza di (.25) non segue quella di (28) (lemma I, 

 osservazione). 



(**) Un metodo X è meno potente di un altro Y (e questo più lìotente 

 di X) quando ogni serie sommabile Xè anche sommabile I', e non viceversa. 



(***) Cfr. Bromwich, loc. cit., art. 100 e 114. 



