78 GUSTAVO SANNIA 



9. — Or passiamo ad esaminare la validità delle pro- 

 prietà (I), ... (V) elencate nel n° 4. 



Dimostriamo anzitutto che (IV) non sussiste integralmente. 

 Paragoniamo perciò le due serie (20) e 



(29) Ui -f- W2 -1- Ih + - 



Le serie di potenze ad esse associate sono rispettivamente 

 u (x) e u' {x), quindi le loro somme sono 



(■OD ras 



e~^ u (x) dx , s' = e~^ u {x) dx , 



.0 .lo 



quando questi integrali convergono. 



Se (29) è sommabile B (o B) s converge, quindi (lemma I) 

 converge anche s e sussiste la (26), quindi (20) è sommabile 5, 

 anzi è sommabile B' (n" 7); inoltre la (27) dà, al limite per 



a; = Go, s' = — Wo + s. Dunque V uguaglianza 



(30) Uq -f- Ui + ^2 + ... = Uo -\- {ui + Mg -f- ...) 



sussiste se la serie del secondo membro è sommabile B, ed allora 

 la serie del primo membro è sommabile B'. Lo stesso può dirsi 

 dell'uguaglianza 



(31) Uo-\-Ui -)-- U2 + ••• = '<0 + ^1 + ••• + '^» + {lin+l-\-Un+2 + •■•}, 



come si vede subito con applicazione ripetuta della (30). 



Se 20 è sommabile B, sicché s converge, non si può dire 

 se s' converga o non (lemma I, osserv.), e quindi se (29) sia som- 

 mabile non, e se la (30) sussista oppur no. 



Ma se (20) è sommabile B', s' converge, quindi (29) è som- 

 mabile B e, come poc'anzi, si vede che sussiste la (30). Ma non 

 possiamo dire che sussiste la (31), perchè non possiamo appli- 

 care alla serie (29) la formola (30), essendo la (29) soltanto 

 sommabile B e non B'. 



Possiamo anche esprimere tutto ciò dicendo: 



A. Ad una serie sommabile B (o B') è lecito premettere un 

 numero finito di termini ; si ottiene una serie sommabile B' la cui 



