NUOVA TRATTAZIONE DEL METODO DI BOREL, ECC. 79 



somma è uguale a quella della prima aumentata della somma dei 

 termini premessi. 



B. Da ima serie sommabile B' è lecito rimuovere il solo 

 primo termine [in f/enerale) ; si ottiene una serie sommabile B (non B' 

 in generale) la cui somma è uguale a quella della prima diminuita 

 del valore di quel termine. 



C. Da una serie sommabile B, ma non B', non è lecito ri- 

 muovere neppure il suo primo termine. 



Poiché dunque la proprietà (IV) non sussiste integralmente, 

 possiamo dire (cfr. la nota al n*' 4) che: in una serie sommabile B 

 B' non è lecito applicare la proprietà commutativa o associativa 

 neppure ad un numero finito di termini. 



10. — Sussistono integralmente le proprietà (I), (II), (III) 

 del n*' 4. Precisamente 



Teorema I. Se una delle due serie 



Ur, 4- Ui 4- !/2 + ... , Mo + Wl + - + W«-l + {^'a + ^) + Wh + 1 + .•• 



è sommabile B (o B), tale è anche l'altra e la somma della seconda 

 è ug ìtale a quella della prima aumentata di k. 

 Teorema II. Se una delle due serie 



Uq + ^1 + "2 + ••• » ^'Wo + ^«1 + ^ "2 + ••• (^ =♦= 0) 



è sommabile B {o B'), tale è atiche l'altra e la somma della seconda 

 è uguale a quella della prima moltiplicata per k. 

 Teorema III, Se le due serie 



«0 + "l + «2 + ••• , ^0 + ^\ + '"2 + - 



sono sommabili B [o B') con somma w. e w rispettivamente, tale è 

 anche la serie 



{i*o + i'o) + («1 + ''i) + ("2 -^n) 4- ..• 



ed ha per somma u -\- v. 



