so GUSTAVO SANNIA 



Le dimostrazioni dei teoremi II e III son ben facili. Il teo- 

 rema I può dimostrarsi direttamente, oppure indirettamente, ap- 

 plicando II e III alle due serie 



«0 + Wi + «2 + - . 



+ -f ... + + ^ 4- + + ... , 



dove k occupa il posto {n -\- l)-esimo. La seconda è convergente 

 ed ha per somma k, quindi è anche sommabile B e B' e con 

 ugual somma. 



11. — Or passiamo all'importante proprietà V del n" 4, 

 •dimostrando anzitutto due lemmi, interessanti per se stessi. 

 Lemma I. Se due serie 



(32) Uo + «1 -h «2 + .- , «^0 + '-1 + ^"2 + - 



^ono sommabili B ed haìino per somma n e \ rispettivamente, 



la serie 



<33) -\- «0 + u\ + w'2 + iv-i 4- - ' 



ove 



<34) Wn = Wo t',, -f Hi iv._i + ... + Wh '"o , 



è sommabile JB ed ha per somma w ^ uv. 

 Per ipotesi 



u = \ e~^ u (.r) dx = lim e~^ n [x] dx , 



.'O f(=x.'0 



V =: e~^' V [ij] dij = lim e~y v (y) di/ , 



Jo ■ «=«.'o 



ove 



<35) ^c{x)=^u,.^, '(!^^=I,'"'Ìi 



sono trascendenti intere; quindi 



C-2a r2a 



(36) w = uv = lim e"^ u[x) dx A e~^y v [if] di/ = lim J{a) , 



