NUOVA TRATTAZIONE DEI. METODO DI BOREL, ECC. • 83 



se ne deduce che la serie (83) è sommabile B ed ha per 

 somma w = uv, giusta l'enunciato. 



Lemma II. Se di due serie (32) sommabili B coìi somma u 

 e V, rispettivamente, una è sommabile B', la serie 



(-11) «<'0 + H\ + 1^2 + ... 



è sommabile B ed ha per somma w = uv (*). 



Supponiamo che la prima delle (32) sia sommabile B' e 

 che la seconda sia sommabile B. Allora (n° 9, B) la serie 



(42) u^ -}- ^2 ^- % + ... 



sarà sommabile B ed avrà per somma n — Uq. 



Applicando il lemma I a questa serie ed alla seconda 

 delle (32), si deduce che la serie 



+ Wi ^0 + {^l ^1 -f- "2 t'o) + (Wl H + «2 ^1 + M3 Vq) -\- ... 



ossia 



(43) + (««'l % ^l) + {W2 — UqVo) + («-3 — UqV^) + ... 



è sommabile B ed ha per somma v [u — Uq). 

 Anche la serie 



(44) Wo Vq -\- Ilo Vi + Wo i'2 + Wo V3 + ... 



è sommabile B con somma ^«ot" (n° 10, teorema I), quindi (n° 10, 

 teorema III) sarà pure sommabile B la serie (41), che si ot- 

 tiene sommando (43) e (44) termine a termine, ed avrà per 

 somma 



IO = V {u — Uq) -\- ììqD ■= uv . 



(*) Hardy ha dimostrato (loc. cit., p. 4.3) un teorema analogo a quello 

 di Mertens relativo al metodo di sommazione ordinario, cioè: se due serie{%2) 

 sono sommabili B, con somma u e v rispettivamente, ed una è sommabile as- 

 solutamente, la serie (41) è sommabile B ed ha i)er somma w = uv. — Il 

 nostro lemma II costituisce un'ampia generalizzazione di questo teorema, 

 sostituendovi alla sommabilità assoluta la sommabilità B'. 



