84 GUSTAVO SANNIA 



Teorema V (per le serie sommabili B'). Se due serie 



(45) Mo H- Wl + i<2 + .- , ^0 + ^1 + V2 -f ... 



sono sommabili B', con somma u e v rispettivamente^ la serie 



(46) Wo-\-iVi-\-W2-{-..., ove m^,i = Wq'-'h + WiV„_i -]-... -f w^i'o, 



è sommabile B' ed ha per somma w = uv. 



Poiché la seconda delle (45) è sommabile B' con somma v, 

 la serie 



Vi + '«'2 + ^3+ ••• 



è sommabile B con somma v — Vq (n° 9, B). Applicando il 

 lemma II a questa serie ed alla prima delle (45), che è som- 

 mabile B' , si ha che la serie 



Vi Uq + {Vi 111 + Wa Vo) + {Vl «2 + 1^2 Wl + v» i'o) + - 



ossia 



(Wi — Mi ^o) + («'2 — W2«^o) + ("'3 — UsVo)-\-... 



è sommabile B ed ha per somma n {v — t'o). 



È pure sommabile B la serie (n^ 10, teorema I) 



UiVo + U2V0 4- t/3?;o + ... 



ed ha per somma [u — Uq) Vq-, dunque (n° 10. teorema III) è pure 

 sommabile B la serie 



(47) M'i + W2 -\- W3^ ... . 



ottenuta sommando le due ultime termine a termine, ed ha per 

 somma 



U {V — Vq) -{- [u — Wq) ^0 = uv Wq «^0 = uv Wq . 



Ne segue (n° 9, A) che sarà sommabile B' e con somma uv 

 la serie che si ottiene da (47) preponendovi il termine «0, cioè 

 la (46). e. d. d. 



