NUOVA TRATTAZIONE DEL METODO DI BOREL, ECC. 85 



12. — Dai teoremi I, II, III e V per le serie sommabili B' , 

 si deduce il 



Teorema. Se si ha un polinomio in un numero finito di 

 variabili 



P{u,v,w, ...) 



e si sostituiscono queste variabili con altrettante serie sommabili B', 

 si ottiene una serie sommabile B', la cui somma è il valore che 

 assume il polinomio quando al posto delle variabili si sostituiscono 

 le somme delle serie corrispondenti. 



Le operazioni si eseguono come se si trattasse di serie as- 

 solutamente convergenti, con V avvertenza però di non eseguire 

 mai cambiamenti nell'ordine dei termini ne associazioni di essi 

 (neppure in numero finito). 



13. — La regola di Cauchy per la formazione di una 

 serie che abbia per somma il prodotto delle somme di due date 

 serie, non sussiste per le serie sommabili B. Però il lemma [ 

 del n** 11 dà un'altra regola che ben poco ne differisce. 



D'altra parte è da notare che la regola di Cauchy è una 

 fra le tante regole che si possono assumere per la formazione 

 della serie-prodotto e deve la sua scelta al fatto importantis- 

 simo che: applicata a due serie di potenze dà ancora una serie 

 di potenze. 



Orbene si vede subito che questo fatto sussiste ancora se si 

 assume la regola fornita dal lemma I. 



L'unica differenza sta in ciò che, mentre la regola di Cauchy 

 applicata a due serie di potenze ad esponenti tutti positivi dà 

 ancora una serie dello stesso tipo, l'altra regola dà una serie 

 avente anche un termine ad esponente negativo e con un coeffi- 

 ciente nullo. 



Infatti questa regola applicata alle due serie 



«0 -j- a^x -j- a^x^ + ..., èo + ^1*; + ^h^'^ + ••• 

 dà la serie 



+ «0^0 + («0*1 + «100)-» + («0*2 + «1*1 +«2*0)3;^ + •••, 



il cui primo termine può ben scriversi Ox~^., almeno pera7=4=0. 



