INTORNO AD UN PROBLEMA, ECC. 151 



La traiettoria chiusa del moto periodico non è piana, giacché 

 si dimostra che 



fra i moti definiti dalle (19) e (16) sono piani solamente 

 gli ellittici nel piano hr] e l'armonico sull'asse t già segnalati. 



Infatti il wronskiano delle tre derivate delle funzioni E, r\,Z 

 definite da (19) e (16) è, tenuto conto delle (18'), 



a2[a2— (1— |a)](EoTio'-no2o')(Zo'co8/l— M^ — ^/l-M^osenf/l— mO; 



ora a^ e a2 — (1 — \x) non sono manifestamente nulli: il fattore 

 Eq rio' — Ho ^0 P^i" l6 (20) è, prescindendo da un fattore non nullo, 



3 



4 



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«'+^(1-M) Eo^±^4^(l-fn)EoTio-h a2+ -Ml-M) ho 



9 



4 



che non si annulla per altri valori reali di E^ ri^ che per 

 gp = Do = ; l'ultimo fattore è identicamente nullo solo se- 

 Iq = Iq = 0. Il wronskiano non è nullo , onde l'asserto è 

 provato. 



Sono soluzioni del sistema (15) le (22) accoppiate alla (16): 

 per codeste soluzioni vale la proposizione: 



se il rapporto a : y 1 — |u è irrazionale^ ogni punto ddla 

 porzione di superficie cilindrica che ha per direttrice l'ellisse (23) 

 e generatrici parallele a l, compresa fra i due piani (24), è punto 

 limite dell'insieme dei punti della traiettoria di P. 



Invero, comunque piccolo sia il numero positivo e, si può 

 trovare un valore t di t tale che per t >> t, sia 



€ ■ , n fit ^ ^ 



Preso un punto qualunque (E^, rii, li) della porzione anzi- 

 detta di superficie cilindrica, v'ha sempre un valore Tj >> t 

 per cui 



Zo cos /l — |n Ti + ,— g — sen \^\ — |li t^ = r^ . 



Il — |U 



