166 FILIPPO SIBIRANI 



coordinate Eq, no di P al tempo t = e le componenti Eq', tio' 

 della velocità iniziale, valgono le formolo 



(T^ - P^) A, = Eo (t^ + H) + 2 /r=[M no' 

 H (p2 _ t2) ^^ ^ p [g^' (^2 4- H) - 2 /1--M T^ no] 



(32 _ y2) ^3 ^ H^ (pa + H) + 2 ^/1-M no' 

 H (T^ - P») ^4 = T [2o' (p2 + H) - 2 |/1 - ^ 32 ^^]. 



È facile vedere che 



se e solo se il rapporto P : T <^ razionale le (31') sono so- 

 luzioni periodiche del problema piano; in questo caso la traiettoria 

 è una curva algebrica. 



Infatti se ^:f=p:q con p e q interi, posto p=j?uj, 

 Y = 5iu, costui = i secondi membri delle (31') divengono ra- 

 zionali interi negli argomenti (J, ^1 — o^ opperò l'eliminazione 

 di CJ fra le (81') porta ad un'equazione razionale in E, n- 



Le equazioni 



E = Al cos p^ + A2 sen p^ 

 (32) 



d2_i_ li 



n = — , (Ao cos p^ — Al sen P^) 



2 Vi - iu p 



rappresentano una ellisse Ei di centro L3 e di assi paralleli ai 

 coordinati; le equazioni 



E = ^3 cos ft -{- Ai sen t^ 

 (33) 



n = — 7==^- [Ai cos ft — A^ sen ft) 

 2 Vi — M T 



rappresentano un'ellisse E2 concentrica e coassiale ad Ei. Si 

 considerino tutte le ellissi uguali ad E2, cogli assi paralleli a 

 quelli di E2 e col centro nei punti di Ei ; esse coprono nel loro 

 insieme un'area che indichiamo con <a. Orbene sussiste la pro- 

 posizione: 



nel caso j^ìctno, se il rapporto P : T ^ irrazionale, la traiet- 

 toria di F ha i suoi punti uniformemente densi in <3l (*). 



(*) Per la dimostrazione, assai semplice, vedi la citata mia Nota, § 4. 



