INTORNO AD UN PROBLEMA, ECC. 157 



Come moti particolari sono possibili i due moti periodici 

 definiti dalle (32) o dalle (83): la equazione cartesiana della 

 traiettoria ellittica è 



ove 



ed è ò — 3 per l'ellisse (32) e ò = y per la (33). 

 Tenendo conto della (17) è facile vedere che 



ed essendo 

 risulta 



ò-w ^,_^ ò'^tv 



(Ò2 4-H)2>4Ò2(1-^); 



opperò gli assi focali delle due ellissi sono perpendicolari alla 

 retta Pi P^. Ed essendo b<;|/l — ili, risulta ancora che la durata 

 delle rivoluzioni di P intorno ad Lg sono maggiori della durata 

 delle rivoluzioni di Pi e Pg intorno ad (*). 



Quando sempre si supponga verificata la (30), le soluzioni 

 generali o particolari del problema nel caso spaziale (cioè le 

 soluzioni del sistema (26)) si ottengono accoppiando le soluzioni 

 generali o particolari del caso piano con la 



z ' 

 (34) Z! = Zio cos uj^ -| — — sen ai^ , 



soluzione della terza equazione delle (26), avendo posto 



9 1 M 



Pi^ Pi 

 Sussistono le proposizioni 



a) se i rapporti P : oj e T : u; sono razionali, le (31') e (34) 

 soluzioni generali del sistema (26) sono periodiche: la traiettoria 

 di P, chiusa, è una curva algebrica. Soluzioni particolari periodiche 

 sono le (32) e (34) oppure le (33) e (34) ; 



(*) Nei moti ellittici in vicinanza di Li e Lj avviene, come abbiamo 

 visto, il contrario. 



