15S FILIPPO SIBIKANI 



b) se il rapporto P : T ^ razionale, mentre è irrazionale il 

 rapporto 3 : uj^ la traiettoria di P definita dalle (31') e (34) ha i 

 suoi punti uniformemente densi nella porzione di superficie cilin- 

 drica a generatrici parallela a l avente per direttrice nel piano Hr) 

 la curva algebrica di cui le equazioni parametriche sono le (31'), 

 porzione limitata dai due piani 



(35) 2 = ±ie^^?V (*). 



In particolare : 



e) se il rapporto P : uu è irrazionale, la traiettoria di P de- 

 finita dalle (32) e (34) ha i suoi punti uniformemente densi nella 

 porzione di cilindro ellittico di direttrice l'ellisse (32) e generatrici 

 parallele a l, compresa fra i due piani (35). 



La curva storta che ha per equazioni parametriche le (32) 

 e (34) se il rapporto P : uu è razionale è una curva chiusa Q 

 che si proietta nell'ellisse Ei dianzi considerata; l'insieme delle 

 ellissi uguali ad E.2 con gli assi paralleli a quelli di E^ e coi 

 centri nei punti di Q costituiscono una superficie I. Orbene vale 

 la proposizione : 



d) se il rapporto p : lu è razionale e ^ :f è irrazionale, la 

 traiettoria di P definita dalle (31') e (34) ha i suoi punti unifor- 

 memente densi sulla superfìcie Z (**), » 



E sussiste ancora la proposizione : 



e) Se i rapporti P : lu , -^ : o) sono entrambi irrazionali la 

 traiettoria di F ha i suoi punti uniformemente densi nella porzione 

 di spazio limitata dai due piani (35) e dalla superficie cilindrica 

 a generatrici parallele a t che ha per direttrice il contorno di ìX (***). 



Finora si era supposta verificata la (30) ; supponiamo ora 

 verificata la disuguaglianza opposta: in tal caso le due radici 

 in \2 dell'equazione (17') sono complesse coniugate a parte reale 

 negativa. Estraendo le radici quadrate dai due valori di X^, 

 due valori saranno complessi coniugati a parte reale negativa 

 e due pure complessi coniugati a parte reale positiva. Indi- 



(*) Per la dimostrazione vedi la citata mia Nota, § 4. 



(**) Come sopra, § 5. 



(**•) Per la dimostrazione vedi: Sibirani, Addizione alla Nota: Intorno 

 ad alcune soluzioni del problema ristretto dei tre corpi, in " Rendiconti del 

 R. Istituto Lombardo di Scienze e Lettere „, 1916. 



