APPROSSIMAZIONI NUMERICHE 465 



Segue dalla 4, in cui a Va, \b, n si sostituiscano i loro 

 massimi 9, 9, 9. 



6. a, è € Q . w, p, 5 e n . 3 . axb — Vp+„aX„.^^+qYg+„b <i 



' [V {X"a) + V (X'è) + 1 4- I (C_,_.è|r,l-«)] X— ^"'^ 



Esprime la differenza fra il prodotto esatto aXb, e il pro- 

 dotto del grado n -\~ p -{- q dei valori di a e di 6 con p -\- n e 

 q -{- n cifre decimali. 



Si deduce dalla 3, osservando che la differenza cercata 



= X-^-' [(X^ a) X (X' b) - V, (X'^ a) X. V„ (X' b)]. 



Se il fattore b e espresso esattamente con n cifre decimali, 

 cioè è un intero moltiplicato per l'unità di ordine — n, sarà 

 M„ò=:0, e dalla prop. 2 si ricava: 



7. «eQ .7? eN.èeNxX-". . 

 aXb—YnaX,b<[Vb + T{C_,.b\r,ì-n)]X-". 



Queste espressioni della differenza fra prodotto vero e pro- 

 dotto approssimato si trovano in sostanza in Vieille (4): qualche 

 cosa di simile si trova in Fourier (3) e Cauchy (5). L'uso dei 

 simboli V^ e Xn permette di esprimerle sotto forma più concisa. 



Esempio. — Sapendo che V4 n = 1-4142 e V4 V5 = 2-2360, 

 calcolare 12 ;V5 =V10. 



Calcolo il loro prodotto d'ordine 4. 



(4) Vieille, Approximations numériques {2" ed., 1854, pag. 39): " On fait 

 " la somme des chifFres du multiplicateur renversé à partir du premier 

 " de ceux des chifiFres à droite dont le correspondant multiplicande est 

 " suivi d'un ou plusieurs chitFres significatifs, jusqu'au dernier de ceux 

 * qui ont un correspondant multiplicande; et, si le multiplicateur se prò- 

 " longe à gauche du multiplicande, on ajoute à cette somme le premier 

 " chifFre à gauche du multiplicande, augmenté de 1. — Puis, on multiplie 

 " le tout par l'unite inférieure de deux ordres à celle qui marque l'ap- 

 " proximation demandée. Le produit qui en résulte est une limite supé- 

 " rieure de l'erreur commise ,,. 



(5) Cauchy, " Comptes rendus de l'Académie „, 16 nov. 1840, pag. 433. 



