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§ 13. — Radice quadrata. 



Si ha: 



1 . xe Interv' Q . q . d Va? e da;/(2 ^x) 



che si può leggere " se a; è un numero positivo approssimato, 

 l'errore nella sua radice quadrata vale l'errore di x diviso pel 

 doppio della radice „. 



Una dimostrazione elementare, e diretta, è 



d^x = rix — li Var = yi'ar — Vii x = {\'x — \^ a;)/(yi'a; + nix) = 

 dxl{n'x^^hx)edxl{2yx). 



Si può anche ragionare così: Posto y = ix, sarà x = y^] 

 differenzio: dx e 2ydy, da cui dy e dxl{2'^x). È questa una forma 

 di ragionamento, comune nei trattati di calcolo infinitesimale 

 della metà del secolo scorso; ma trovata inesatta, perchè vi si 

 suppone l'esistenza della derivata di y; qui, ove i differenziali 

 sono quantità, finite, la forma di ragionamento è esatta. 



Risulta che se a? è >> 1, l'errore nella sua radice è minore 

 dell'errore di x. Così, conoscendo ti con 7 decimali, si potrà 

 determinare la sua radice, a meno di un'unità del 7° ordine 

 decimale. 



La regola per estrarre la radice, quale si insegna nelle 

 scuole, fa intervenire 2n cifre decimali, per fare il calcolo con n. 

 Furono proposti molti metodi per ottenere la radice. 



L'estrazione graduale della radice quadrata fa intervenire 

 le sole cifre necessarie. Non mi consta che essa sia stata pub- 

 blicata sotto forma così elementare; si può derivare dal me- 

 todo di FouRiEK (3) per la risoluzione delle equazioni generali. 



[1 problema è : dato il numero a con n cifre decimali, cioè 

 noto Ynd, trovare il massimo numero x, avente n cifre deci- 

 mali, e tali che 



Esempio. — Vuoisi calcolare Vtt. Comincio a calcolare le prime 

 2 cifre di Vit, cioè la parte intera di V(IOOtt), cioè di y314, che 

 è 17; il suo doppio =34. 



