SUI FASCI DI RECIPROCITÀ DEGENERI, ECC. 631 



i quali il determinante [Xifl'/fc -|- ^2^»^! ha la caratteristica w — h, 

 per valori generici di Xi e X2- Varie proprietà dei fasci di re- 

 ciprocità non degeneri valgono anche per quelli di reciprocità 

 degeneri; così: Gli iperpiani omologhi di un punto generico 

 di Sr, (o di S' n) nelle oo^ reciprocità di un fascio F, formano 

 un fascio proiettivo ad F\ se per un punto di S^ (o di S'„) coin- 

 cidono gli iperpiani omologhi in due (e quindi in tutte le) reci- 

 procità di F, quel punto è singolare per una reciprocità di F, 

 e viceversa ; un S^ di S,^ singolare per una reciprocità di F ha 

 in S'n Io stesso spazio corrispondente in tutte le reciprocità 

 di F\ il fascio F sega sopra un S^ ed un S\ generici un fascio 

 di reciprocità, che sono tutte degeneri (e di specie k-^h — n-\-\) 

 se A: > n — h . 



Luoghi degli spazi singolari in un fascio di specie h-\-\. 



— 4. Sia F wn fascio di >S;r reciprocità tra Sn, S'n. Se un punto 

 è singolare per due reciprocità di F esso lo è per tutte. Perciò, 

 dette a, p due reciprocità di F, se esistono un Si ed un S'i 

 comuni ai loro spazi singolari rispettivamente in *S'„ ed in S'^, 

 ed è ad es. < / < ^'< /«, tutte le reciprocità di F hanno 

 due spazi singolari contenenti rispettivamente Si ed S'r, per cui 

 il fascio F si può costruire proiettando, da Si e da un S'i con- 

 tenuto in S'i', un fascio di <S;t_i_i-reciprocità tra due spazi 

 ad n — l — 1 dimensioni. 



Escluso questo caso (che si presenta certo quando 2h>n (^)), 

 supponiamo che, in uno almeno dei due spazi, ad es. 5"„, gli 

 spazi singolari di due reciprocità qualunque di F non abbiano 

 punti comuni. Allora, se le reciprocità di F hanno in Sn lo 

 stesso Sh singolare, la stella degli Sn-\ passanti per un tale >S^ 

 è mutata proiettivamente da a, p nelle stelle di S'n^i passanti 

 per due S' ,^ sghembi di S'„, le quali risulteranno fra loro proiet- 

 tive, e genereranno quindi, come luogo dei punti comuni a 

 due S'n+i omologhi ed incidenti, una V'iz^l {''), non cono, che sarà 



(^) Se dunque un fascio di S';i-reciprocità non è proiezione di un altro 



tra spazi di dimensione <n, dev'essere h^E\ — \ (escludendo l'uguaglianza 



se n è pari); troveremo però per h, in tal caso, un confine più piccolo. 



C) Veronese, Behandlìing der projectivischen Verhàltnisse der Raume voti 

 verschiedenen Dimensionen durch das Frincip des Projicirens und Schneidens, 



