632 EUGENIO G. TOGLIATTI 



luogo degli S'h singolari delle reciprocità di F. Infatti, un punto 

 di V",X\, congiunto ai due S\, dà due S'/j+i omologhi nella 

 proiettività anzidetta, perciò ha lo stesso Sn-i corrispondente 

 in a e p; e viceversa. 



Supponiamo ora che anche in Sn le reciprocità di F abbiano 

 un Sk singolare variabile, il cui luogo sarà una Uhj-i, senza 

 escludere che tutti quegli Sh abbiano in comune un Si (suppo- 

 nendo — l ^l <Ch si comprendono i vari casi). Diciamo an- 

 cora Vu-^i la varietà (non cono) luogo degli S'^ singolari; siano 

 poi S,n, S'm' gli spazi d'immersione di C4+i, V^^i rispettivamente. 

 Un Sh di Uh-hi ha, in tutte le reciprocità di F, uno stesso 

 S'n-h+i corrispondente, che passa per tutti gli S'h di Vh-^i, e 

 quindi per S'm' (poiché su F^+i si possono trovare m' -\- 1 punti 

 linearmente indipendenti); e che passa anche per r»S''„_„)+;8 che 

 corrisponde ad Sm in una qualsiasi reciprocità a di F. Questo 

 S'n-m+h (che conterrà S'm'i o coinciderà forse con S",h) non può 

 variare con a, perchè gli S'n-h+i anzidetti (supposti infiniti) non 

 variano con a ed appartengono ad una stella di iperpiani oc"'-'*-i, 

 quindi non possono passare tutti per diversi S'n-m+h- Se invece 

 gli Sk di Uti+\ hanno tutti lo stesso S'n-h+i corrispondente, 

 essi stanno in un medesimo S2h-i avente per corrispondente 

 <\\xq\\' S' n-h+i in ogni reciprocità del fascio; ed essendo ora 

 Sm'^^ S-2h-i, si vede che vale ancora il risultato di prima. Ri- 

 petendo tutto ciò scambiati *S,i, S'n (e ponendo / = — 1), si trova 

 che lo spazio S'm' ha, in tutte le reciprocità di F, uno stesso 

 Sn-m'+h corrispondente, il quale passa per Sm • Viceversa, date 

 tra Sn, S'n due iS/.-reciprocità a, p, se esiste, in Sn ad es., un Sm, 

 contenente gli Sh singolari di a, p, che abbia lo stesso S' n-m+n 

 corrispondente ina, p, tutte le reciprocità del fascio aP dovranno 

 air<Sm far corrispondere Y S'n-m+h, perciò saranno tutte di 

 specie h-\-\ (eccettuate al piìi alcune di esse); ed esisterà in S'n 

 un S'm', contenuto in S'n-m+h e contenente tutti gli 6';, singo- 

 lari, il quale avrà in a, p lo stesso Sn-m'+n corrispondente pas- 

 sante per Sm. 



Dunque: Per un fascio di Sh-recijirocità tra Sn ed S'„, esi- 



' Math. Ann. ,, 19 (1882), pp. 161-234, Abschnitt V; Bertini, loc. cit. nella 

 nota C), cap. 7°, n. 12 e cap. 13% n. 21. 



