SUI FASCI IH RECIPROCITÀ DEGENERI, ECC. 639 



procità (15). Gli <S„_2 generici di C (di C) segano ogni S^ (»S\) 

 singolare, se A >> 0, in un Sh-i (S'h-i). 



Per determinare la dimensione del complesso C, osserviamo 

 che se a due punti P', Q' di S'n (non singolari per nessuna 

 reciprocità del fascio) corrisponde lo stesso *S'„_2 di C, i fasci 

 degli S„-i omologhi di F' e Q' nelle 00^ reciprocità del fascio 

 risultano (proiettivi e) sovrapposti. Se questa proiettività non è 

 identica, esistono nel fascio due reciprocità a, p in ciascuna 

 delle quali P' e Q' hanno lo stesso 5',;_i corrispondente. Ne 

 segue che la retta F' Q' è incidente agli S' ^ singolari di a e p, 

 perciò è una corda (eventualmente una tangente) di V-h^\. Se 

 ora si suppone P' generico in S'n, deve anzitutto lo spazio S' -.n' 

 d'immersione di F^+i coincidere con S'„, cioè le reciprocità del 

 fascio devono avere tutte in Sn lo stesso S^ singolare. Vice- 

 versa, tutti i punti di una corda di F^+i hanno per corrispon- 

 dente uno stesso /S„_2 di 6'; perciò se Vu^\ (1*') appartiene ad *S'„ , 

 la dimensione di C sarà n solo se le corde di V^^^y non riem- 

 piono S' n- il che accadrà certamente per valori di n abbastanza 

 grandi rispetto ad h. 



Se invece la proiettività anzidetta è identica, la retta F'Q\ 

 che non sta su F/im , dovrà passare per un punto comune a 

 tutti gli S\ singolari. Viceversa, se gli *S',j singolari hanno tutti 

 in comune un *S, e gli S'/, singolari un S'i {h^l>0, h'^ /'>0), 

 tutti i punti di S'n (di -S„) appartenenti ad uno stesso 5'r+i 

 per S'i> (ad un Si-^i per Si) hanno per corrispondente lo stesso 

 /S„_2 di C (di 6"), per cui le diniensioni di C e di C risultano 

 rispettivamente n — l' — 1 , h — / — 1. 



Se C4^-l, Vh+i non sono coni, i complessi C, C sono en- 

 tiambi 00" . 



11. Se le reciprocità del fascio hanno in Sn un S^ singo- 

 lare variabile, sarà ni'^h, perciò n — m-{-h<Cn; un punto 



(1^) Enriques, Alcune proprietà dei fasci di omografìe negli spazi lineari 

 ad n dimensioni, " Rend. Lincei ,, (4) 63 (1890), pp. 6-3-70, n° 3. 



C^) Qui si può supporre che Vh+i non sia un cono, se no il fascio con- 

 siderato sarebbe proiezione di un altro fra spazi di dimensione < n. 11 

 ragionamento qui fatto vale anche se vi sono nel fascio reciprocità di 

 specie superiore, purché in tal caso si pensino come parte di Vh+i i loro 

 S'h^i singolari. 



