762 EUGENIO G. TOGLIATTI 



singolari ad es. in Sn (esclusi quelli delle reciprocità di specie 

 superiore contenute in uu) dovranno, per l'osservazione prece- 

 dente, e per ragioni di continuità, appartenere tutti a tt. Il si- 

 stema considerato si può quindi eventualmente ampliare, senza 

 mutarne la specie, congiungendolo al sistema completo di 

 specie n definito da tt. Sia Q il nuovo sistema lineare. 



Se x^y = e l'equazione di tt, e |ay| il determinante della 

 5;r reciprocità generica P di uu, le aij saranno forme lineari di 

 parametri \q, Xi, ..., X^; e le equazioni dell'/S/, singolare di p sa- 

 ranno : 



TaijXi = {i,j= 0,1, ...,n); 



volendo che esso stia in tt, queste equazioni dovranno avere 

 (per valori generici di Xq, ..., ^k) h -{- 1 soluzioni lin. ind. quando 

 vi si ponga a;o = 0, ossia la matrice dedotta da \aij\ soppri- 

 mendo la prima orizzontale deve avere la caratteristica w — h — 1. 

 E poiché il determinante di Q è : 



«00 + Mo «01 -f Mi ... «o« '+ M. 



Clio «il ... et in 



{i=l,2,...,n), 



si vede che, prendendo: |Ui = — Uqì {i'=0, 1,..., n), risultan 

 nulli tutti i minori d'ordine n — h. Si ottengono così delle 

 /S/i-Hi-reciprocità contenute in iì, le quali formano, al variare 

 di Xq, Xj, ..., Xfe, e quindi delle «qm un sistema lineare uìi; ed Q si 

 potrà anche costruire congiungendo vj^ col sistema oo" di specie ti 

 definito da tt (*). Se un sistema lineare completo di specie h -j- 1 

 contiene una Sn-i- reciprocità, esso congiunge un sistema completo 

 di specie n con un sistema completo di specie h -{- 2. 



Se in un sistema completo di specie h -\-l gli Sh singolari 

 appartengono tutti ad un Sm, il sistema contiene n — m sistemi 

 completi di specie n lin. ind., definiti da altrettanti iperpiani di Sn , 



(*) Rileviamo che, in S^, gli Sh+i singolari delle reciprocità di u), pas- 

 sano tutti per il punto fondam.'^ Aq. Se ^ e completo ed uj, no, qualunque 

 sistema completo contenente uji deve contenere elementi (formanti un si- 

 stema 00^', con p <Cn) del sistema oo" di specie n definito da tt, perciò con- 

 terrà i sistemi completi di specie n definiti da p + 1 iperpiani di S'n lin. ind. 



