SD ALCUNE CLASSI DI SISTEMI LINEARI, ECC. 763 



lin. ind., passanti per *S'„ì- Ad esempio, il sistema di tutte le 

 (S/i- re ci prò cita in cui si corrispondono un Sm di Sn ed un S\,-m+h 

 di S'n congiunge ?i — w sistemi completi di specie n definiti 

 da n — m iperpiani di S^, lin. ind., passanti per Sm, con ìh — h 

 sistemi definiti in modo analogo da iperpiani di S'n passanti 



per S n-m+h- 



Se un sistema completo di specie h -^\ non contiene 

 (S„_i-reciprocità, gli S^ e gli 5",, singolari delle sue reciprocità 

 (anche escludendo quelle degeneri di specie superiore) formano 

 due varietà appartenenti rispett. ad Sn , S'n , che possono riem- 

 pire tutto Sn od S'n. 



Sistemi completi di specie n — 1. — 5. Una <S„_2- recipro- 

 cità equivale ad una proiettività tra due fasci d'iperpiani. Esclu- 

 dendo i sistemi lineari oo^""'"! di tutte le <S^«_2-reciprocità che 

 hanno in Sn (od >S'„) lo stesso spazio singolare, e quelli oo^'* delle 

 «S^w- 2-reciprocità in cui si corrispondono due dati iperpiani, la reci- 

 procità generica d'un sistema lineare di specie n — 1 avrà due 

 spazi singolari entrambi variabili; e due spazi singolari generici, 

 sì in Sn che in S'n, staranno in un iperpiano, pure variabile 

 (F. n" 4). Ne segue che tutti gli Sn~2 singolari passano per un *S'„_3 , 

 egli S'n— 2 singolari per un S'n-?,; ed il dato sistema proietterà 

 da quegli 5„_3, S'n-?, un sistema di 1^ specie tra due piani 

 TT, ir'. Ora, un fascio generico f di quest'ultimo sistema stabilisce 

 tra TT, ti' (come intersezione di tutte le sue reciprocità) una 

 corrispondenza omografica (non degenere) ; e qualunque «So-reci- 

 procità tra tt e tt', che, congiunta con f, dia una rete di 1" specie, 

 dev'essere una di quelle definite da due fasci di rette (proiet- 

 tivi ed) omologhi nell'omografia. Viceversa, l'insieme delle 

 Go2 (S^Q-reciprocità così definite (e tra le quali vi son quelle di f) 

 è una rete, perchè contiene il fascio di due qualunque dei suoi 

 elementi. Perciò: Si hanno tra S«, S'n tre tipi di sistemi lineari 

 completi di Su-2-reciprocità : P Sistema oo^'^+i delle Sn-2-recipro- 

 cità aventi un dato spazio singolare in S,j od S'„; 2° Sistema 00'-^** 

 delle Sn~2-reciprocità in cui si corrispondono due iperpiani dati 

 rispett. in Sn ed S'n; 3° Rete delle Sn-2-reciprocità date dalle oo^ 

 proiettività tra fasci di iperpiani che son contenute in un omografia 

 (non degenere) tra due stelle (00 2) di centri S«_3, S'h_3. 



