su ALCUNE CLASSI PI SISTEMI LINEARI, ECC. 775 



di 4° ordine, ossia ha la caratteristica 2 {^*). Se allora svilup- 

 piamo A, ordinando per potenze decrescenti di y^, nel risultato 

 (che è un quadrato perfetto) verrà il fattor comune t/o^'"~^, e 

 l'altro fattore sarà il quadrato d'una forma T^ di grado w + l* 

 E precisamente, se P è la radice quadrata di |i^,/|, e Py sono 

 le radici quadrate dei minori principali d'ordine 2m — 2 in 

 [L,;|, si trova, in base a proprietà note dei determinanti emi- 

 simmetrici (^^j : 



(16) V =yoP^}Tq>,^P,^ = {ij = 2, 3, ..., n). 



Se invece n e pari {n = 2w), A è nullo; e le (15), per va- 

 lori generici delle l^'J, danno le «02» «os» •■■'ffon proporzionali 

 alle radici quadrate A2, A3,..,, A„ dei minori principali di 

 ordine 2m — 2 in A. Ciascuno di questi, per il ragionamento 

 precedente, è il prodotto di «/o^'"'^ per il quadrato d'una forma 

 di grado m; chiamando P2. P3, ..., Pn le radici quadrate dei mi- 

 nori principali d'ordine 2m — 2 in \Lij\, e Psij quelle dei mi- 

 nori principali d'ordine 2rn — 4, risulta cioè: 



^. = yo'""^ [yo ^^4-^5: cp,, P,,,) {s = 2, 3, ..., n) 



(^■,/=2, ..., s— 1,5 + 1, ...,w). 



D'altra parte, moltiplicando le ultime n — 1 delle (14) rispett. 

 per P„ , P«-i, ..., P2, e sommandole, si trova: 



«00(1/1^+^2 AH \- yn-iPn) -\-aioiy2P2-i- y^P^-i h«/nPn)=0; 



da cui si ricava il rapporto di Uqq, q^q. Si conclude che un 

 punto generico di S'n è singolare per una reciprocità di Qq; e 

 se si dicono corrispondenti due punti, di Sn ed S'n rispett., 



(^^) Per un teor. di Grassmann e Frobenius; v. per es.: E. von Weber, 

 Vorlesungen ilber das Pfaff'sche Prohlem, Leipzig, 1900, Kap. 1", § 3. 



(15) VivANTi, Sulle trasformazioni infinitesime che lasciano invariata una 

 equazione Pfaffiana, " Rend. Palermo „, 12 (1898), pp. 1-20, § 2; Cazzaniga, 

 Sopra i determinanti gobbi, ' Rend. Ist. Lomb. ,, (2) SO (1897), pp. 1303-1308; 

 E. VON Weber, loc. cit., Kap. 1°, § 2. 



