776 EUGENIO G. TOGLIATTI 



singolari per una stessa reciprocità di Qq, si ottiene tra 5„ ed S'n 

 (per le (12)) la seguente trasformazione birazionale: 



pXo = yiP2 +//2P3H \-yn-lPn 



px.2 = i/oPn + Y ^ ^ij Pnij {i,j = 2, 3, ..., n — 1) 

 ^ px^ = yo Pn-i + Y 21 qp,;, P„_i.i, {i,j = 2, 3, ..., n — 2, n) 



pXn=iJoP2 + ^- 2: qp ij P20 (^ j = 3 , . . . , w) . 



In questa trasformazione, ad una retta generica di Sn cor- 

 risponde in 6''„ una C""^ (luogo dei punti singolari, in S'„, 

 delle reciprocità d'un fascio generico di Qq); perciò si avrà in Sn 

 un sistema omaloidico di ipersuperficie d'ordine n — 1. Dunque: 

 Le reciprocità d'un sistema lineare Qo ( 00") corrispondono omo- 

 graficamente ai loro punti singolari in S,, . Se n:^2m-f- 1, ^ 

 punti singolari in S'» formano, in generale, una V^m^ razionale. 

 Se n = 2m, i punti singolari in S'u riempiono S'n, e le coppie 

 di punti singolari delle reciprocità di Qq si corrispondono (in ge- 

 nerale) in una trasformazione birazionale tra S,j , S'„ , la quale 

 muta gli iperpiani di S,» ed S'n in ipersuperfìcie razionali di ordini 

 rispett. m e 2 m — 1 . 



Esempi. — 18. Riservandoci di approfondire lo studio dei 

 sistemi Qo» ^i, •••» ^n-i, portiamo alcuni esempi, che per ora 

 esponiamo senza insistere sulle dimostrazioni. 



Per n = 3, il sistema Q2, '^^^ è costituito di tutte le S'o-re- 

 ciprocità in cui si corrispondono una retta ed un piano, dati 

 l'uno in S^ e l'altro in *S''3; il sistema Q^, cc^, si ottiene con- 

 giungendo il sistema completo di 3* specie definito da un piano 

 generico di S3 (od S'^) con una rete completa di 2* specie 

 (v. n'^ 5). 



Per il sistema Qq, Ve una quadrica, perchè la (16) diviene: 



F=«/oL23 + 923 = 0. 



Qq contiene due fasci di Si-reciprocità, per ciascun dei quali 

 esiste in ^3 una retta singolare fissa, mentre in ^'3 le rette 



