EQUIVALENTI OMOGRAFICHE DELLE FORMULE DI FRENET 837 



4. Se per brevità di scrittura poniamo 



(8) \ = 1 — r cos (qp -(- w)/p , 



osserviamo che nella (a) i coefficienti di n, b sono nulli e che 

 a? r= r cos (qp + u) si ha subito 



(9) Q'=\t. 



Da questa, derivando due volte rispetto ad s, si ha 



Q" = \'e 4- - n, Q'"— \"t + ~ »i + (-Vii — \t — ^h 

 ^ p ' ^ p \ p / P^ PT 



^'A ^" = 7 &. ^' A ^" X ^"'= - -^ , 



e quindi, indicando con Si, pi, Ti, ti, iii, &i i soliti elementi 

 della linea Q si ha [cfr, h), e)] 



^ f/sj = (mod X) e/.? , Pi ^ (mod X) p , ti = Xt 

 \ t^=z (X/mod X) # , Wi = (X/mod X) li , &i — & 



che esprimono notevoli proprietà di posizione delle linee pa- 

 rallele. Ad es., risulta che le linee parallele di un'elica relativa 

 ad una direzione A* [cfr, e)] è pure un'elica relativa alla stessa 

 direzione. 



5. La rigata descritta da PQ è sviluppabile perchè i piani 

 tangenti nei punti distinti P, Q coincidono. Lo spigolo di re- 

 gresso è descritto dal punto [cfr. e)] 



E=iP-\-x{Q—P) con R'/\{Q — P) = 0, 



e poiché R' = x' {Q — P)-\-{l-\-\x — x)t ne segue che deve 

 essere x = 1/(1 — X) = p'(r cos (qp -f" ^*))> cioè 



(11) R = P+Pn-\-ptg{q>-\-u)b, 



vale a dire, le linee R sono tutte e sole (col variare di w) le 

 evolute della linea P [cfr. e)] e quindi R è l'intersezione della 

 retta PQ con la generatrice corrispondente della sviluppabile 

 polare della linea P. Notevole il caso particolare P linea piana. 



