EQUIVALENTI OMOGRAFICHE DELLE FORMULE DI FRENET 839 



Per la curvatura media (Ii<J) e totale (lot?) in Q [cfr. d)] 

 si ha subito [cfr. a)] 



(15) I,(T = ^i, l,a=^-^ 



Si ha l2cr<<0, punti iperbolici, solamente quando X- — X<!0, 

 €Ìoè solamente quando <C ^ <C 1» del che dovremo tener conto 

 in seguito per le assintotiche. 



Possono formare oggetto di studio interessante e semplice 

 le linee speciali della superficie canale lungo le quali la curva- 

 tura totale è nulla, l2cr = 0, cioè \^1, o le linee lungo le 

 quali è nulla la curvatura media, li{y = 0, cioè \ = l/2. 



Ci occuperemo in generale delle tre curvature in una di- 

 rezione arbitraria. Ora dalle (15) possiamo ricavare subito le 

 due curvature normali principali, ^^ , .Sf^, per le quali è noto 

 [cfr. d)] che 



^ + ^f; = I,(y, ^^ = 120; 



da queste si ricava subito 



rX p 1 



(16) n = à = ^h 



9^ X — 1 cos (qp + u) ' ^ ^ét 



r. 



La direzione principale corrispondente ad S)T^ [cfr. d)^ n. 27, 

 (3)] è 



\ ' r rh 



(5t — 9r^t = — {t — ~t] — — t = — -i^t, 



cioè é^, ^/~2, sono, rispettivamente, le curvature normali nelle 

 direzioni t, N [\t, cioè per le linee m = cost., s = cost.; come 

 è evidente per le s = cost. che sono circonferenze di raggio r. 

 Le due falde della evoluta della superficie canale sono de- 

 scritte dai punti 



^ ^ >■ cos (qp + m) 



come è ben noto, la falda M^ si riduce alla linea P, mentre la 

 falda 3fi è la sviluppabile polare di P perchè 



M2 — {P-^ pw) = / . , ! N— cos (qp + w) n j = ptg (qp + m) . &. 



^ ' -^ cos(q) + «) 



