EQUIVALENTI OMOGRAFICHE DELLE FORMULE DI FRENET 841 



Queste si deducono dalle (2), così : 



;|=f f=^H(«,«)H(M) = J,H(*,«) = l^ 



e analogamente per la seconda e terza; per la quarta si ha 



^^ = ^A^-«A«=fp^AH(*,«)-«Aa = ecc. 



Per le curvature geodetiche ^i , ^2 nelle direzioni princi- 

 pali t, JV/\t si ha [cfr. d), n. 18, (1)] 



e quindi 



(22) ^, = -i55Ì^, ^^ = 0; 



cioè le linee s = cosi, sono geodetiche della sup. canale. 



Essendo x il vettore unitario normale ad iV considerato 

 nel n. 8, per la curvatura geodetica ^^ nella direzione x si 

 ha [cfr. d), n. 24, (2)] 



(23) ^,=^,cose-irXGrad,e = — ^^^i^^^^-^XGrad.e. 



Per il calcolo diretto di ^^ occorre la derivata di JV /\x 

 rispetto a Q. Dalle (17), (21) si ha con calcolo semplicissimo 

 [cfr. a)] 



(24) 4S = H (grad^ 9, N /\ x) — san 6 . t/\ a -f 



(ìQ 



^ H ) ^, cos B n — sen 6 sen (q) -\- u)t {, 



da cui cambiando x, 6 in K /\x, tt/2 -f- Q si ha 



^25) ^^^^^ = - H (grad.e, x) - cosB .t /\a - 



^— H ) f, sen 6 li + cos e sen {cp -{- ii)t (. 



Ap 



