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Applicando la (25) alla formula generale 



^« = |^^^^Hx- 



si ritrova la (23) e in particolare le (22). 



Per mezzo delle (24), (25) si può calcolare la rotazionale 

 e la divergenza (rot, div) dì x e N /\x e collegare queste con 

 le ^ '^, ^ [cfr. d), n. 22]. 



Avendo 6 il precedente significato l'equazione differenziale 

 delle geodetiche i^= 0) assume la forma semplicissima [cfr. d), 

 n. 37, (1)] 



dQ= — J^/\ t X dt — — — JVX t An . ds = —-- JVXà . ds 



e per la (17) 



(26) dQ = — ^^^^^ + '^) ds, ovvero d% = \^^ds. 



10. Se nella espressione (7) di Q si considera anche r va- 

 riabile, allora Q risulta funzione delle tre variabili indipen- 

 denti s, M, r e si ha un sistema triplo di superficie, s = cost., 

 ti = cost., r = cost., che è ortogonale poiché insieme alle (13) 

 si ha, essendo per la (12) Q = P-{-rJ\^, dQjdr -- ^ e le di- 

 rezioni t/\ y, t, J^r formano un sistema ortogonale. 



Le superficie s = cost. sono i piani normali della linea P; 

 le superficie u = cost. sono le sviluppabili osculatrici delle evolute 

 della linea P [cfr. n. 5] ; le superficie r = cost. sono le super- 

 ficie canali aventi per asse la linea P e sono tutte parallele 

 tra loro. 



Per ogni punto Q dello spazio passano tre delle superficie 

 ora considerate, che, due a due, si tagliano secondo tre linee ; 

 la M = cost., r = cost., che è una delle linee parallele alla P; 

 la /• = cost., s = cost., che è la circonferenza, ecc.; s = cost., 

 u = cost. che è la retta FQ. Queste linee sono ortogonali due 

 a due e sono linee di curvatura per le tre superficie del sistema. 



