EQUIVALENTI OMOGRAFICHE DELLE FORMULE DI FRENET 843 



Superfìcie parallele. 



11, La superficie Z sia descritta dal punto M e sia 3^ un 

 vettore unitario funzione di M parallelo alla normale a Z in il/. 

 Il punto M', funzione di M, descrive una superficie Z' parallela 

 a Z quando la retta MM' è normale comune a Z e Z'. Si deve 

 dunque avere il/' = M-}- aJV con dM' X J^= per qualunque 

 spostamento ; ma dM' X ^ = {dM -\- ad]V-{- c?a . iV) X -^= da, 

 quindi deve essere a = cost., cioè tutte le superfìcie Z' parallele 

 a Z sono descritte dal punto M' = M-\-aJV con a costante 

 arbitraria. 



Per ciò che segue poniamo 



(1) M' =^-M^a]S^, M= M' — aW, con a costante 



e si passa da Z' a Z cambiando a in — a e lasciando N in- 

 variato. 



Si hanno le due formule 



(n\ dM' 1 I ^ dM ^ , 



le quali provano che le omografie 1 -\- aa, 1 — a a sono l'una 

 inversa dell'altra. 



Indicando con h l'invariante terzo di l-j-acr si ha 



( h = I3 (1 -f- ao) = 1 -f al.a + a^I^cr 

 ^' ( lih = l3{i—aa'} = l — alj_a'-{-an^a'. 



Si può esprimere a' in funzione di a 



(5) a' = a {!-{- aa)-' = ] a .R{1+ aa)ilh 



(5') ha =a + aUa j I — H (iV, ir) ( 



