DELLA PARTIZIONE DEI NUMERI, ECC. 903 



con la condizione : a?i <C a;2 <C ••• <C ^m, cioè che x cresca con m. 

 In simboli : 



r w, w e Ni . . 



G (m, n) = num | (Ni F l"m) cres nx^ [I. [x, l'm) = n]{. 



2. Nella stessa ipotesi per m e w, indico con G' (m, w) il 

 numero delle soluzioni in numeri x della 



Xi-\- X2-\~ ... -\- x,n='n; 



con la condizione: a^i ^ 0:2 < ... < a;„j. In simboli: 



II w, n e Ni . . 



G' {m, n) = num | (NiF l""m) creSo <-• a? 3 [Z (a;, l'^'m) = «] { Df. 



Si può leggere: " se w e w sono numeri, G' {m,n) è, per 

 definizione, il numero delle classi x, formate ciascuna di m nu- 

 meri, distinti no, di somma n „. Brevemente, con Eulero: " è 

 il numero dei modi nei quali n può esser diviso in m parti, 

 uguali disuguali „. 



3. Da ciascuna delle due funzioni precedenti Eulero fu 

 condotto a una funzione , che indico con H' (m, w), e che così 

 definisco : 



ITI m, w e Ni . . 



H' (m, n) ■= num ) (0*"m) F {ì'"n) o a? 9 [Z {x, l'"n) = n] j Df. 



Cioè: " se m e n sono numeri, H' (m, w) è, per definizione, 

 il numero delle soluzioni in interi a? da a m della 



Xi -f- X2 ~J- ... — p Xn = ^l )). 



Tralasciando i termini nulli, si può anche dire che H' (m, n) 

 è il numero delle soluzioni nel campo dei numeri da 1 a m della 



(1) Xi + 0^2 -j- ••• =*^; 



nel primo membro della quale non si fissa il numero dei ter- 

 mini, che può anche essere uguale a 1. E allora, con Eulero, 



