904 ALBERTO TANTDRRI 



leggeremo: " se m e n sono numeri, H' [m, n) è il numero dei 

 modi nei quali può essere formato n, sommando numeri da 1 

 a w „. Volendo scrivere in simboli anche sotto questa forma, 

 indico, rispettivamente, con y^, y^^ ..., «/,„, il numero dei termini 

 1, 2, ..., m, contenuti nella soluzione generica della (1). Sarà 

 ogni y un intero da a w ; e H' (m, n) sarà il numero delle . 

 soluzioni nel campo degli interi da a w della 



Vi + 2i/2 + ... + mijm = n; 

 cioè: 



Iir ?n, w e Ni . . 



H'(m, 11) = n,um ) (0"*w) F {\'"m) n ^ 3 [Z {iyi\i, \'"m) = n] j. 



E così si presenta per l'appunto la funzione H' nella dimo- 

 strazione più ovvia del teorema : 



IV 7W e Ni . a? e — 1 1 . 3 . 



i;n[(l —x')\i,l-m\=\ + I[H'Kw)ic"|w, Ni]; 



che si legge: " se m è un numero, e ic è un numero reale, 

 minore, in valore assoluto, di 1, allora 



1/(1— rr) (1— a;2)...(i ^ x^) 

 è uguale alla serie : 1 + H' {m, 1) x -)- H' (m, 2) x^ + ... „ (^). 



(') Per m = 1 si ha la serie geometrica. Per il caso generale, sviluppo 

 1/(1 — x), 1/(1 — x^), ...,\l{\ — x"'), in serie; serie tutte assolutamente con- 

 vergenti, e i cui termini son dati da xVi, x^Vì, ..., a;'"*»», quando gli y per- 

 corrano il campo degl'interi. E moltiplico. Nella serie prodotto, che è 

 assolutamente convergente e ha per somma 



1/(1 — .r) (1 —X')... (1 — T'»), 



il termine a-" comparirà tante volte per quante sono le soluzioni in in- 

 teri y della 



2/1 4- 2?/2 + ... + mym = n ; 



cioè H' (m, «) volte. 



