DELLA PARTIZIONE DEI NUMERI, ECC. 905 



4. Si stabiliscono direttamente i tre teoremi : 



V w€l-|-Ni.weNi.o .Gr {m,n-\-m)=G {m,n)-\-(j (ni — l,w) 



VI G'{m,n-\-m)=(}'{m,n)-\-G['{7n — l,n-{-m—l) 



VII H'(m,^«-fm)=H'(w,«)+H'{m — !,«+?») (i); 



dei quali Eulero scrive l'ultimo, deducendolo dalla IV. 

 Con essi tre, e con le semplicissime : 



VII! w e Ni . 3 . G (1, n) = G'{1, n) = H' (1, w) = 1 , 



IX m e 1 + Ni . n e V")n — 1 . Q . G {m, n) = G' (m, w) := . 



H'(wi, n) = H'(w, w), 



X „ • • Gr (m, m) := . G' {m, ni) = 1 . 



tì' (wj, w) = 1 -f- H' (^w — 1, ìh) , 



son determinati G (w, w), G' (w, w) e H' (m, «), per ogni coppia 

 di numeri m e n {^). E se cominciamo a registrare in tabelle i 

 valori che si trovano, intravederemo subito il teorema, scoperto 

 da Eulero mediante sviluppi in serie, e dimostrabile per indu- 

 zione: 



XI w, w e Ni , 3 . G [m, m -|- m {m -\- 1) '2] =• G' (m, n -f ni) = ìì'{m, n). 



Per l'appunto con la VII son calcolate le tabelle euleriane. 

 Quella dell' Introductio ecc. è di 11 colonne; la m"^^ delle quali 

 contiene, in 69 righi, da H' (?>?, 1) ad H' (w, 69), cioè da 



{*) Per la V: delle classi di in numeri, distinti, di somma n -\- m, quelle 

 che non contengono 1 sono G (m, n), come si vede togliendo 1 da ogni ele- 

 mento di ciascuna; e quelle che contengono 1 sono G {m — l,n), come si 

 vede sopprimendo quell'I, e poi togliendo 1 da ciascuno degli elementi 

 rimasti. Similmente, nelle classi da computare : per la VI, si distinguano 

 quelle che non contengono nessun 1 da quelle che ne contengono; e, per 

 la VII, quelle che contengono qualche m da quelle che non ne contengono. 



(-) Notiamo le formule- 



IX' weli-N, .nel"- w(w + l)/2 — 1 . 0. &(»/,«) ^0 

 IX" , .O.G[m,m{m+l);2] = 



G [m, m (ni + l)/2 + 1] = G' [m, m + 1) = H' {m, 1) = 1. 



G [m, m [m + 1) '2 + 2] = G' (w, m + 2) = H'(>«, 2) = 2. 



Atti della lì. Accade>ma — Voi. Lll. 59 



